Сумма оснований трапеции равна 13, а её диагонали равны 5 и 12. а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны. б) Найдите высоту трапеции.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, причем AD BC и AD > BC. Известно, что сумма оснований AD + BC = 13, а диагонали AC = 5 и BD = 12. а) Докажем, что диагонали перпендикулярны. Проведём через вершину C прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с прямой AD в точке E. По построению CE BD, а так как BC AD, то четырёхугольник BCED — параллелограмм. Следовательно, DE = BC и CE = BD = 12. Рассмотрим треугольник ACE. В нём: AC = 5, CE = 12, AE = AD + DE = AD + BC = 13. Проверим соотношение сторон: AC^2 + CE^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 = AE^2. По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ACE прямоугольный с прямым углом при вершине C, то есть ACE = 90^. Так как CE BD, то угол между прямыми AC и BD равен углу между AC и CE, то есть 90^. Таким образом, AC BD, что и требовалось доказать. б) Найдём высоту трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Площадь трапеции можно выразить двумя способами: 1. Через основания и высоту: S = (AD + BC)/(2)* h = (13)/(2)* h. 2. Через диагонали и угол между ними. Из пункта (а) известно, что диагонали перпендикулярны, поэтому sin 90^ = 1, и S = (1)/(2)* AC* BD*sin 90^ = (1)/(2)* 5* 12* 1 = 30. Приравнивая выражения для площади, получаем: (13)/(2)* h = 30 => h = (60)/(13). Ответ: а) AC BD б) (60)/(13)

а) доказано б) \(\dfrac{60}{13}\)