Задача №15302

Сумма оснований трапеции равна 13, а её диагонали равны 5 и 12.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC\text{,}$ причем $AD\parallel BC$ и $AD>BC\text{.}$ Известно, что сумма оснований $AD+BC=13\text{,}$ а диагонали $AC=5$ и $BD=12\text{.}$

а) Докажем, что диагонали перпендикулярны.

Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD\text{,}$ до пересечения с прямой $AD$ в точке $E\text{.}$ По построению $CE\parallel BD\text{,}$ а так как $BC\parallel AD\text{,}$ то четырёхугольник $BCED$ — параллелограмм. Следовательно,

$$DE=BC\text{и}CE=BD=12.$$

Рассмотрим треугольник $ACE\text{.}$ В нём:

$$AC=5,CE=12,AE=AD+DE=AD+BC=13.$$

Проверим соотношение сторон:

$$A{C}^2+C{E}^2=5^2+12^2=25+144=169=13^2=A{E}^2.$$

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $ACE$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C\text{,}$ то есть $\angle ACE=90^{\circ }\text{.}$

Так как $CE\parallel BD\text{,}$ то угол между прямыми $AC$ и $BD$ равен углу между $AC$ и $CE\text{,}$ то есть $90^{\circ }\text{.}$ Таким образом, $AC\perp BD\text{,}$ что и требовалось доказать.

б) Найдём высоту трапеции.

Обозначим высоту трапеции через $h\text{.}$ Площадь трапеции можно выразить двумя способами:

1. Через основания и высоту:

$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{13}{2}\cdot h.$$

2. Через диагонали и угол между ними. Из пункта (а) известно, что диагонали перпендикулярны, поэтому $\sin 90^{\circ }=1\text{,}$ и

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\cdot \sin 90^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12\cdot 1=30.$$

Приравнивая выражения для площади, получаем:

$$\frac{13}{2}\cdot h=30\Rightarrow h=\frac{60}{13}.$$

Ответ:

а) $AC\perp BD$

б) $\frac{60}{13}$