Решите неравенство
log3x−4log3(81x)+log3(81x)log3x−4≥log32x−1624−log3x8ОДЗ: x>0, log3x=4 и log3x=−4 (так как знаменатели не должны обращаться в ноль, и log3(81x)=0).
Упростим выражения: log3(81x)=log381+log3x=4+log3x. Обозначим t=log3x. Тогда неравенство принимает вид:
t−4t+4+t+4t−4≥t2−1624−8t.Заметим, что t2−16=(t−4)(t+4). Приведём левую часть к общему знаменателю:
(t−4)(t+4)(t+4)2+(t−4)2≥(t−4)(t+4)24−8t.Умножим обе части на (t−4)(t+4), учитывая знак этого выражения. Рассмотрим два случая.
1. (t−4)(t+4)>0, т.е. t<−4 или t>4. Тогда знак неравенства сохраняется:
(t+4)2+(t−4)2≥24−8t.Вычисляем:
t2+8t+16+t2−8t+16≥24−8t⇒2t2+32≥24−8t⇒2t2+8t+8≥0⇒t2+4t+4≥0⇒(t+2)2≥0— верно для всех t. С учётом условия t<−4 или t>4 получаем t<−4 или t>4.
2. (t−4)(t+4)<0, т.е. −4<t<4. Тогда умножение на отрицательное число меняет знак неравенства:
(t+4)2+(t−4)2≤24−8t.Получаем:
(t+2)2≤0,откуда t=−2. Проверяем, входит ли −2 в промежуток −4<t<4: да.
Таким образом, t=−2, t<−4 или t>4. Возвращаемся к x:
Учитываем ОДЗ: x>0, x=34=81 и x=3−4=811 (так как t=±4). В наших решениях x=91 не равно 811 и 81; x<811 не включает 811; x>81 не включает 81. Таким образом, все найденные значения входят в ОДЗ.
Ответ: x∈(0;811)∪{91}∪(81;+∞)
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ФИПИ