Решите неравенство (_3(81x))/(_3 x - 4) + (_3 x - 4)/(_3(81x))>=(24 - _3 x^8)/(_3^2 x - 16)

ОДЗ: x>0, _3 x!= 4 и _3 x!= -4 (так как знаменатели не должны обращаться в ноль, и _3(81x)!= 0). Упростим выражения: _3(81x)=_3 81+_3 x=4+_3 x. Обозначим t=_3 x. Тогда неравенство принимает вид: (t+4)/(t-4)+(t-4)/(t+4)>=(24-8t)/(t^2-16). Заметим, что t^2-16=(t-4)(t+4). Приведём левую часть к общему знаменателю: ((t+4)^2+(t-4)^2)/((t-4)(t+4))>=(24-8t)/((t-4)(t+4)). Умножим обе части на (t-4)(t+4), учитывая знак этого выражения. Рассмотрим два случая. 1. (t-4)(t+4)>0, т.е. t<-4 или t>4. Тогда знак неравенства сохраняется: (t+4)^2+(t-4)^2>= 24-8t. Вычисляем: t^2+8t+16+t^2-8t+16>= 24-8t=> 2t^2+32>= 24-8t=> 2t^2+8t+8>= 0=> t^2+4t+4>= 0=> (t+2)^2>= 0 — верно для всех t. С учётом условия t<-4 или t>4 получаем t<-4 или t>4. 2. (t-4)(t+4)<0, т.е. -4<t<4. Тогда умножение на отрицательное число меняет знак неравенства: (t+4)^2+(t-4)^2<= 24-8t. Получаем: (t+2)^2<= 0, откуда t=-2. Проверяем, входит ли -2 в промежуток -4<t<4: да. Таким образом, t=-2, t<-4 или t>4. Возвращаемся к x: - t=-2: _3 x=-2=> x=3^(-2)=(1)/(9). - t<-4: _3 x<-4=> 0<x<3^(-4)=(1)/(81). - t>4: _3 x>4=> x>81. Учитываем ОДЗ: x>0, x!= 3^4=81 и x!= 3^(-4)=(1)/(81) (так как t!=+- 4). В наших решениях x=(1)/(9) не равно (1)/(81) и 81; x<(1)/(81) не включает (1)/(81); x>81 не включает 81. Таким образом, все найденные значения входят в ОДЗ. Ответ: xin(0; (1)/(81)) U (1)/(9)U (81; +inf)

\((0;\dfrac{1}{81})\cup\left\{\dfrac{1}{9}\right\}\cup(81;+\infty)\)