В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы ABM и DCM прямые. а) Докажите, что AM = DM. б) Найдите угол BAD, если угол ADC равен 70^, а расстояние от точки M до прямой AD равно стороне BC.

а) Продлим прямые AB и CD до пересечения в точке Q. Так как AD BC и AD=2BC, то BC AD и BC=12 AD, значит, BC — средняя линия треугольника AQD. Следовательно, B — середина AQ, а C — середина DQ. В треугольнике AQM отрезок MB — медиана к стороне AQ. По условию ABM=90^, а точки A,B,Q лежат на одной прямой, значит MB AQ. Следовательно, медиана MB является высотой, поэтому MA=MQ. Аналогично, в треугольнике DQM отрезок MC — медиана к стороне DQ, и из DCM=90^ (при D,C,Q на одной прямой) получаем MC DQ. Значит, MD=MQ. Итак, MA=MQ=MD, откуда AM=DM. б) Обозначим BC=a, тогда AD=2a. Пусть H — основание перпендикуляра из M на прямую AD. По условию расстояние от M до AD равно a, значит MH=a. Из пункта а) AM=DM, поэтому AMD равнобедренный, а высота MH, опущенная на основание AD, является также медианой. Тогда AH=HD=a. В прямоугольном треугольнике AMH катеты равны: AH=MH=a, значит AMH=45^. Поскольку MH — биссектриса угла при вершине M в равнобедренном треугольнике AMD, имеем AMD = 2 AMH = 90^. По пункту а) также MA=MQ=MD, следовательно, точки A,Q,D лежат на окружности с центром M. Тогда AMD — центральный угол, опирающийся на хорду AD, а AQD — вписанный угол, опирающийся на ту же хорду, значит AQD = 12 AMD = 45^. Так как точки D,C,Q лежат на одной прямой, то QDA = CDA = ADC = 70^. В треугольнике AQD: QAD = 180^ - 45^ - 70^ = 65^. Поскольку A,B,Q коллинеарны, лучи AB и AQ совпадают, значит BAD = QAD = 65^. Ответ: 65^

а) доказано б) 65