Задача №15300

В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC\text{.}$ Внутри трапеции взяли точку $M$ так, что углы $ABM$ и $DCM$ прямые.

а) Докажите, что $AM=DM\text{.}$

б) Найдите угол $BAD\text{,}$ если угол $ADC$ равен $70^{\circ }\text{,}$ а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC\text{.}$

а) Продлим прямые $AB$ и $CD$ до пересечения в точке $Q\text{.}$ Так как $AD\parallel BC$ и $AD=2BC\text{,}$ то $BC\parallel AD$ и $BC=\frac{1}{2}AD\text{,}$ значит, $BC$ — средняя линия треугольника $AQD\text{.}$ Следовательно, $B$ — середина $AQ\text{,}$ а $C$ — середина $DQ\text{.}$

В треугольнике $AQM$ отрезок $MB$ — медиана к стороне $AQ\text{.}$ По условию $\angle ABM=90^{\circ }\text{,}$ а точки $A,B,Q$ лежат на одной прямой, значит $MB\perp AQ\text{.}$ Следовательно, медиана $MB$ является высотой, поэтому $MA=MQ\text{.}$

Аналогично, в треугольнике $DQM$ отрезок $MC$ — медиана к стороне $DQ\text{,}$ и из $\angle DCM=90^{\circ }$ (при $D,C,Q$ на одной прямой) получаем $MC\perp DQ\text{.}$ Значит, $MD=MQ\text{.}$

Итак, $MA=MQ=MD\text{,}$ откуда $AM=DM\text{.}$

б) Обозначим $BC=a\text{,}$ тогда $AD=2a\text{.}$ Пусть $H$ — основание перпендикуляра из $M$ на прямую $AD\text{.}$ По условию расстояние от $M$ до $AD$ равно $a\text{,}$ значит $MH=a\text{.}$

Из пункта а) $AM=DM\text{,}$ поэтому $△AMD$ равнобедренный, а высота $MH\text{,}$ опущенная на основание $AD\text{,}$ является также медианой. Тогда $AH=HD=a\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $AMH$ катеты равны: $AH=MH=a\text{,}$ значит $\angle AMH=45^{\circ }\text{.}$ Поскольку $MH$ — биссектриса угла при вершине $M$ в равнобедренном треугольнике $AMD\text{,}$ имеем

$$\angle AMD=2\angle AMH=90^{\circ }.$$

По пункту а) также $MA=MQ=MD\text{,}$ следовательно, точки $A,Q,D$ лежат на окружности с центром $M\text{.}$ Тогда $\angle AMD$ — центральный угол, опирающийся на хорду $AD\text{,}$ а $\angle AQD$ — вписанный угол, опирающийся на ту же хорду, значит

$$\angle AQD=\frac{1}{2}\angle AMD=45^{\circ }.$$

Так как точки $D,C,Q$ лежат на одной прямой, то $\angle QDA=\angle CDA=\angle ADC=70^{\circ }\text{.}$ В треугольнике $AQD\text{:}$

$$\angle QAD=180^{\circ }-45^{\circ }-70^{\circ }=65^{\circ }.$$

Поскольку $A,B,Q$ коллинеарны, лучи $AB$ и $AQ$ совпадают, значит $\angle BAD=\angle QAD=65^{\circ }\text{.}$

Ответ: $65^{\circ }$