В треугольнике ABC угол A равен 120^. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. а) Докажите, что AH = AO. б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC = 3, ABC = 15^.

а) Так как CN AB и точка H лежит на прямой CN, то ANH=90^. Аналогично, BM AC и Hin BM, значит AMH=90^. Следовательно, точки A,N,H,M лежат на одной окружности, причём AH — её диаметр. В треугольнике AMN эта окружность является описанной, поэтому по теореме синусов (MN)/(sin MAN)=2R_(AMN)=AH. ag1 При этом MAN= BAC=120^. Докажем, что AMN ABC. Поскольку BMC=90^ и BNC=90^, то точки B,C,M,N лежат на окружности с диаметром BC. Тогда вписанные углы, опирающиеся на хорду BM, равны: BNM= BCM. Так как C,A,M коллинеарны, то BCM= BCA. Так как B,A,N коллинеарны, то ANM= BNM. Значит, ANM= BCA. Совместно с MAN= BAC получаем AMN ABC (по двум углам). Отсюда (MN)/(BC)=(AM)/(AB). ag2 Найдём AM. В прямоугольном треугольнике ABM угол BAM равен 180^- A=60^ (так как AM — продолжение AC). Поэтому AM=AB*cos 60^=(AB)/(2). Тогда из (2) получаем MN=(BC)/(2). Подставляя в (1), находим AH=(MN)/(sin 120^)=(BC2)/(sqrt(3)2)=(BC)/(sqrt(3)). С другой стороны, радиус описанной окружности ABC: R=(BC)/(2sin 120^)=(BC)/(sqrt(3)). Значит, AO=R=AH. б) C=180^-120^-15^=45^. Тогда R=AO=(BC)/(2sin 120^)=(3)/(sqrt(3))=sqrt(3), и по пункту а) AH=sqrt(3). Пусть D — основание высоты из A на BC, тогда A,H,D коллинеарны и S_(AHO)=(1)/(2)AH* AO*sin HAO=(1)/(2)R^2sin HAO=(3)/(2)sin HAO. Пусть P — середина BC. Тогда OP BC, а также AD BC, значит OP AD. Проведём через O прямую, параллельную BC; она пересечёт AD в точке K. Тогда OK AD, и четырёхугольник OPDK — параллелограмм (так как OP DK и PD OK), следовательно, OK=PD. В прямоугольном треугольнике AOK (прямой угол при K) имеем OAK= HAO и sin HAO=(OK)/(AO)=(PD)/(R). Осталось найти PD. В прямоугольном треугольнике ABD: BD=ABcos ABC. Причём AB=2Rsin C=2sqrt(3)*(sqrt(2))/(2)=sqrt(6), поэтому BD=sqrt(6)cos 15^=sqrt(6)*(sqrt(6)+sqrt(2))/(4)=(3+sqrt(3))/(2). Так как P — середина BC, то BP=(3)/(2), и PD=BD-BP=(3+sqrt(3))/(2)-(3)/(2)=(sqrt(3))/(2). Следовательно, sin HAO=(PD)/(R)=(sqrt(3)2)/(sqrt(3))=(1)/(2). Тогда S_(AHO)=(3)/(2)*(1)/(2)=(3)/(4). Ответ: (3)/(4)

а) \(AH = AO\) б) \(\dfrac{3}{4}\)