Задача №15298

На сторонах $AB\text{,}$ $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1\text{,}$ $A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $A{C}_1:C_{1}B=21:10\text{,}$ $B{A}_1:A_{1}C=2:3\text{,}$ $A{B}_1:B_{1}C=2:5\text{.}$ Отрезки $B{B}_1$ и $C{C}_1$ пересекаются в точке $D\text{.}$

а) Докажите, что четырёхугольник $AD{A}_1{B}_1$ — параллелограмм.
б) Найдите $CD\text{,}$ если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC=63\text{,}$ $BC=25\text{.}$

а) Пусть $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$ и $\overrightarrow{AC}=\vec{c}\text{.}$ Из заданных отношений $A{C}_1:C_{1}B=21:10$ и $A{B}_1:B_{1}C=2:5$ выразим векторы:

$$\overrightarrow{A{C}_1}=\frac{21}{31}\vec{b},\overrightarrow{A{B}_1}=\frac{2}{7}\vec{c}$$

Точка $D$ является пересечением отрезков $B{B}_1$ и $C{C}_1\text{.}$ По теореме Менелая для $△AB{B}_1$ и прямой $C{C}_1\text{:}$

$$\frac{A{C}_1}{C_{1}B}\cdot \frac{BD}{D{B}_1}\cdot \frac{B_{1}C}{CA}=1\Rightarrow \frac{21}{10}\cdot \frac{BD}{D{B}_1}\cdot \frac{5}{7}=1\Rightarrow \frac{3}{2}\cdot \frac{BD}{D{B}_1}=1\Rightarrow BD:D{B}_1=2:3$$

Тогда $\overrightarrow{BD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{B{B}_1}\text{.}$ Выразим вектор $\overrightarrow{AD}\text{:}$

$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\vec{b}+\frac{2}{5}(\overrightarrow{A{B}_1}-\vec{b})=\frac{3}{5}\vec{b}+\frac{2}{5}\overrightarrow{A{B}_1}=\frac{3}{5}\vec{b}+\frac{4}{35}\vec{c}$$

Для точки $A_1$ на стороне $BC$ при $B{A}_1:A_{1}C=2:3$ по формуле деления отрезка имеем:

$$\overrightarrow{A{A}_1}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}=\frac{3}{5}\vec{b}+\frac{2}{5}\vec{c}$$

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{B_1{A}_1}=\overrightarrow{A{A}_1}-\overrightarrow{A{B}_1}\text{:}$

$$\overrightarrow{B_1{A}_1}=\left(\frac{3}{5}\vec{b}+\frac{2}{5}\vec{c}\right)-\frac{2}{7}\vec{c}=\frac{3}{5}\vec{b}+\frac{4}{35}\vec{c}$$

Поскольку $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B_1{A}_1}\text{,}$ отрезки $AD$ и $B_1{A}_1$ параллельны и равны. Следовательно, четырёхугольник $AD{A}_1{B}_1$ — параллелограмм.

б) Так как $AD{A}_1{B}_1$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны: $AD\parallel B_1{A}_1\text{.}$ По условию $AD\perp BC\text{,}$ следовательно, $B_1{A}_1\perp BC\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1{A}_{1}C$ ($\angle A_1=90^{\circ }$). Найдём длины его сторон:

$$B_{1}C=\frac{5}{7}AC=\frac{5}{7}\cdot 63=45$$ $$A_{1}C=\frac{3}{5}BC=\frac{3}{5}\cdot 25=15$$ $$\cos \angle C=\frac{A_{1}C}{B_{1}C}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}$$

В параллелограмме $AD{A}_1{B}_1$ сторона $D{A}_1=A{B}_1=\frac{2}{7}AC=18\text{.}$ Так как $D{A}_1\parallel AC\text{,}$ угол $\angle D{A}_{1}C=180^{\circ }-\angle C\text{.}$

Применим теорему косинусов для $△D{A}_{1}C\text{:}$

$$C{D}^2=A_1{D}^2+A_1{C}^2-2\cdot A_{1}D\cdot A_{1}C\cdot \cos (180^{\circ }-\angle C)$$ $$C{D}^2=A_1{D}^2+A_1{C}^2+2\cdot A_{1}D\cdot A_{1}C\cdot \cos \angle C$$ $$C{D}^2=18^2+15^2+2\cdot 18\cdot 15\cdot \frac{1}{3}=324+225+180=729$$ $$CD=\sqrt{729}=27$$

Ответ:
а) доказано
б) 27