На сторонах AB , BC и AC треугольника ABC отмечены точки C_1 , A_1 и B_1 соответственно, причём AC_1 : C_1B = 21 : 10 , BA_1 : A_1C = 2 : 3 , AB_1 : B_1C = 2 : 5 . Отрезки BB_1 и CC_1 пересекаются в точке D . а) Докажите, что четырёхугольник ADA_1B_1 — параллелограмм. б) Найдите CD , если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC = 63 , BC = 25 .

а) Пусть AB = b и AC = c . Из заданных отношений AC_1 : C_1B = 21 : 10 и AB_1 : B_1C = 2 : 5 выразим векторы: AC_1 = (21)/(31)b, AB_1 = (2)/(7)c Точка D является пересечением отрезков BB_1 и CC_1 . По теореме Менелая для ABB_1 и прямой CC_1 : (AC_1)/(C_1B) * (BD)/(DB_1) * (B_1C)/(CA) = 1 => (21)/(10) * (BD)/(DB_1) * (5)/(7) = 1 => (3)/(2) * (BD)/(DB_1) = 1 => BD : DB_1 = 2 : 3 Тогда BD = (2)/(5)BB_1 . Выразим вектор AD : AD = AB + BD = b + (2)/(5)(AB_1 - b) = (3)/(5)b + (2)/(5)AB_1 = (3)/(5)b + (4)/(35)c Для точки A_1 на стороне BC при BA_1 : A_1C = 2 : 3 по формуле деления отрезка имеем: AA_1 = (3)/(5)AB + (2)/(5)AC = (3)/(5)b + (2)/(5)c Рассмотрим вектор B_1A_1 = AA_1 - AB_1 : B_1A_1 = ( (3)/(5)b + (2)/(5)c) - (2)/(7)c = (3)/(5)b + (4)/(35)c Поскольку AD = B_1A_1 , отрезки AD и B_1A_1 параллельны и равны. Следовательно, четырёхугольник ADA_1B_1 — параллелограмм. б) Так как ADA_1B_1 — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны: AD B_1A_1 . По условию AD BC , следовательно, B_1A_1 BC . Рассмотрим прямоугольный треугольник B_1A_1C ( A_1 = 90^ ). Найдём длины его сторон: B_1C = (5)/(7)AC = (5)/(7) * 63 = 45 A_1C = (3)/(5)BC = (3)/(5) * 25 = 15 cos C = (A_1C)/(B_1C) = (15)/(45) = (1)/(3) В параллелограмме ADA_1B_1 сторона DA_1 = AB_1 = (2)/(7)AC = 18 . Так как DA_1 AC , угол DA_1C = 180^ - C . Применим теорему косинусов для DA_1C : CD^2 = A_1D^2 + A_1C^2 - 2 * A_1D * A_1C * cos(180^ - C) CD^2 = A_1D^2 + A_1C^2 + 2 * A_1D * A_1C * cos C CD^2 = 18^2 + 15^2 + 2 * 18 * 15 * (1)/(3) = 324 + 225 + 180 = 729 CD = sqrt(729) = 27 Ответ: а) доказано б) 27

а) доказано б) 27