Задача №15295

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку $r\text{,}$ если известно, что последний платёж будет не менее 0,819 млн рублей.

Кредит $S=7$ млн рублей на $n=10$ лет. Ежегодное уменьшение долга в июле:

$$d=\frac{S}{n}=0,7\text{ млн}.$$

Последний платёж (в 10-й го

д): долг на начало года после начисления процентов:

$$(S-9d)\left(1+\frac{r}{100}\right)=(7-6,3)\left(1+\frac{r}{100}\right)=0,7\left(1+\frac{r}{100}\right).$$

Выплата:

$$X_{10}=0,7\left(1+\frac{r}{100}\right)-0=0,7\left(1+\frac{r}{100}\right).$$

Условие: $X_{10}\ge 0,819\text{.}$ Тогда:

$$0,7\left(1+\frac{r}{100}\right)\ge 0,819.$$

Решим неравенство:

$$1+\frac{r}{100}\ge \frac{0,819}{0,7}=1,17,$$ $$\frac{r}{100}\ge 0,17,$$ $$r\ge 17.$$

Ответ: $r=17\text{.}$