В параллелограмме ABCD с острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ , причём точка P лежит на стороне AD , а точка Q — на стороне CD . На стороне AD отмечена точка M . Известно, что AM = BP , AB = BQ . а) Докажите, что BM = PQ . б) Найдите площадь треугольника APQ , если AM = BP = 8 , AB = BQ = 10 .

а) Пусть BAD = alpha . Так как ABCD — параллелограмм, то BCD = BAD = alpha . 1. В прямоугольном треугольнике ABP ( APB = 90^ ): BP = AB * sin alpha По условию AM = BP , следовательно, AM = AB * sin alpha . 2. Рассмотрим высоту BQ к стороне CD . В прямоугольном треугольнике BCQ ( BQC = 90^ ): BQ = BC * sin( BCD) = BC * sin alpha По условию AB = BQ , значит, AB = BC * sin alpha , откуда BC = (AB)/(sin alpha) . 3. Найдём угол PBQ . Так как BP AD и AD BC , то BP BC , то есть PBC = 90^ . В треугольнике BCQ : cos( CBQ) = (BQ)/(BC) = (AB)/(AB / sin alpha) = sin alpha Следовательно, CBQ = 90^ - alpha . Тогда PBQ = PBC - CBQ = 90^ - (90^ - alpha) = alpha . 4. Рассмотрим треугольники ABM и BPQ : - AB = BQ (по условию); - AM = BP (по условию); - BAM = alpha и PBQ = alpha , значит, BAM = PBQ . Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними ( ABM BPQ по первому признаку). Из равенства треугольников следует, что BM = PQ . Что и требовалось доказать. б) Дано: AM = BP = 8 , AB = BQ = 10 . 1. В прямоугольном треугольнике ABP : AP = sqrt(AB^2 - BP^2) = sqrt(10^2 - 8^2) = 6 sin alpha = (BP)/(AB) = (8)/(10) = 0,8; cos alpha = (AP)/(AB) = (6)/(10) = 0,6 2. Найдём площадь треугольника APQ . Для этого определим расстояние от точки Q до прямой AD (высоту h_Q ). Пусть P — начало координат на прямой AD . Тогда B имеет высоту 8 относительно AD . Вектор BQ имеет длину 10 и образует угол alpha с прямой BP (так как PBQ = alpha ). Проекция вектора BQ на прямую BP равна BQ * cos alpha = 10 * 0,6 = 6 . Так как угол alpha острый и Q лежит на стороне CD , то точка Q находится ближе к прямой AD , чем точка B . Высота точки Q над AD : h_Q = BP - BQ * cos alpha = 8 - 6 = 2 . 3. Площадь треугольника APQ : S_(APQ) = (1)/(2) * AP * h_Q = (1)/(2) * 6 * 2 = 6 Ответ: 6

а) BM=PQ б) 6