Задача №15294

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ из вершины $B$ проведены высоты $BP$ и $BQ\text{,}$ причём точка $P$ лежит на стороне $AD\text{,}$ а точка $Q$ — на стороне $CD\text{.}$ На стороне $AD$ отмечена точка $M\text{.}$ Известно, что $AM=BP\text{,}$ $AB=BQ\text{.}$

а) Докажите, что $BM=PQ\text{.}$
б) Найдите площадь треугольника $APQ\text{,}$ если $AM=BP=8\text{,}$ $AB=BQ=10\text{.}$

а) Пусть $\angle BAD=\alpha \text{.}$ Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\angle BCD=\angle BAD=\alpha \text{.}$

1. В прямоугольном треугольнике $ABP$ ($\angle APB=90^{\circ }$):

$$BP=AB\cdot \sin \alpha$$

По условию $AM=BP\text{,}$ следовательно, $AM=AB\cdot \sin \alpha \text{.}$

2. Рассмотрим высоту $BQ$ к стороне $CD\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $BCQ$ ($\angle BQC=90^{\circ }$):

$$BQ=BC\cdot \sin (\angle BCD)=BC\cdot \sin \alpha$$

По условию $AB=BQ\text{,}$ значит, $AB=BC\cdot \sin \alpha \text{,}$ откуда $BC=\frac{AB}{\sin \alpha }\text{.}$

3. Найдём угол $PBQ\text{.}$ Так как $BP\perp AD$ и $AD\parallel BC\text{,}$ то $BP\perp BC\text{,}$ то есть $\angle PBC=90^{\circ }\text{.}$
В треугольнике $BCQ\text{:}$

$$\cos (\angle CBQ)=\frac{BQ}{BC}=\frac{AB}{AB/\sin \alpha }=\sin \alpha$$

Следовательно, $\angle CBQ=90^{\circ }-\alpha \text{.}$
Тогда $\angle PBQ=\angle PBC-\angle CBQ=90^{\circ }-(90^{\circ }-\alpha )=\alpha \text{.}$

4. Рассмотрим треугольники $ABM$ и $BPQ\text{:}$

• $AB=BQ$ (по условию);
• $AM=BP$ (по условию);
• $\angle BAM=\alpha$ и $\angle PBQ=\alpha \text{,}$ значит, $\angle BAM=\angle PBQ\text{.}$

Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними ($△ABM\cong △BPQ$ по первому признаку). Из равенства треугольников следует, что $BM=PQ\text{.}$ Что и требовалось доказать.

б) Дано: $AM=BP=8\text{,}$ $AB=BQ=10\text{.}$

1. В прямоугольном треугольнике $ABP\text{:}$

$$AP=\sqrt{A{B}^2-B{P}^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$$ $$\sin \alpha =\frac{BP}{AB}=\frac{8}{10}=0,8;\cos \alpha =\frac{AP}{AB}=\frac{6}{10}=0,6$$

2. Найдём площадь треугольника $APQ\text{.}$ Для этого определим расстояние от точки $Q$ до прямой $AD$ (высоту $h_Q$).

Пусть $P$ — начало координат на прямой $AD\text{.}$ Тогда $B$ имеет высоту $8$ относительно $AD\text{.}$ Вектор $\overrightarrow{BQ}$ имеет длину $10$ и образует угол $\alpha$ с прямой $BP$ (так как $\angle PBQ=\alpha$). Проекция вектора $\overrightarrow{BQ}$ на прямую $BP$ равна $BQ\cdot \cos \alpha =10\cdot 0,6=6\text{.}$

Так как угол $\alpha$ острый и $Q$ лежит на стороне $CD\text{,}$ то точка $Q$ находится ближе к прямой $AD\text{,}$ чем точка $B\text{.}$ Высота точки $Q$ над $AD\text{:}$ $h_Q=BP-BQ\cdot \cos \alpha =8-6=2\text{.}$

3. Площадь треугольника $APQ\text{:}$

$$S_{APQ}=\frac{1}{2}\cdot AP\cdot h_Q=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2=6$$

Ответ: 6