Задача №15293

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
• в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
• в июле 2030 года долг должен составить 600 тыс. рублей;
• в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
• к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2360 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Пусть сумма кредита $A$ тыс. руб. В первые пять лет долг уменьшается на одинаковую величину $d$ каждый июль. В июле 2030 долг составляет 600 тыс. руб., поэтому:

$$A-5d=600\Rightarrow d=\frac{A-600}{5}.$$

Во вторые пять лет долг уменьшается на одинаковую величину $h$ каждый июль. К июлю 2035 долг должен быть погашен, поэтому:

$$600-5h=0\Rightarrow h=120.$$

Выплата в году $i$ первых пяти лет ($i=1,\dots ,5$):

$$0.2A+d(1.2-0.2i).$$

Сумма выплат за первые пять лет:

$$5\cdot 0.2A+d\sum _{i=1}^5(1.2-0.2i)=A+d\cdot (6-3)=A+3d.$$

Выплата в году $j$ вторых пяти лет ($j=1,\dots ,5$):

$$0.2(600-(j-1)h)+h.$$

Сумма выплат за вторые пять лет:

$$0.2\cdot (5\cdot 600-h\cdot 10)+5h=600+3h=600+360=960.$$

Общая сумма выплат по условию равна 2360:

$$(A+3d)+960=2360\Rightarrow A+3d=1400.$$

Подставляем $d=\frac{A-600}{5}\text{:}$

$$A+3\cdot \frac{A-600}{5}=1400\Rightarrow 5A+3A-1800=7000\Rightarrow 8A=8800\Rightarrow A=1100.$$

Ответ: 1100