В остроугольном треугольнике ABC угол BAC в два раза больше угла ABC. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Окружность, описанная около треугольника AOC, пересекает отрезок BC в точках C и P. а) Докажите, что AP = BP. б) Найдите длину стороны BC, если AB = 7, AC = 4.

а) Пусть ABC = alpha, тогда BAC = 2alpha, ACB = 180^ - 3alpha. Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC. Центральный угол AOC опирается на дугу AC, не содержащую B, поэтому AOC = 2 ABC = 2alpha. Точки A, O, C, P лежат на одной окружности, следовательно, APC = AOC = 2alpha (вписанные углы, опирающиеся на дугу AC). Так как P лежит на отрезке BC, то APB = 180^ - APC = 180^ - 2alpha. В треугольнике ABP: ABP = ABC = alpha. Сумма углов треугольника ABP: BAP + alpha + (180^ - 2alpha) = 180^ => BAP = alpha. Таким образом, BAP = ABP = alpha, поэтому треугольник ABP равнобедренный: AP = BP. б) По теореме синусов для треугольника ABC: (AC)/() = (AB)/(sin(180^ - 3alpha)) = (AB)/(sin 3alpha). Подставляем AB = 7, AC = 4: (4)/() = (7)/(sin 3alpha). Используем формулу sin 3alpha = 3 - 4sin^3alpha. Тогда: 4sin 3alpha = 7sin alpha => 4(3 - 4sin^3alpha) = 7sin alpha => 12 - 16sin^3alpha = 7 5 - 16sin^3alpha = 0. Так как != 0, получаем 16sin^2alpha = 5 => = (sqrt(5))/(4). Тогда = sqrt(1 - (5)/(16)) = (sqrt(11))/(4). Найдём значения sin 2alpha и sin 3alpha: sin 2alpha = 2 = 2 * (sqrt(5))/(4) * (sqrt(11))/(4) = (sqrt(55))/(8). sin 3alpha = 3 - 4sin^3alpha = 3 * (sqrt(5))/(4) - 4 * ( (sqrt(5))/(4))^3 = (3sqrt(5))/(4) - (5sqrt(5))/(16) = (7sqrt(5))/(16). По теореме синусов: (BC)/(sin 2alpha) = (AB)/(sin 3alpha) => BC = AB * (sin 2alpha)/(sin 3alpha) = 7 * (sqrt(55)8)/(7sqrt(5)16) = 7 * (sqrt(55))/(8) * (16)/(7sqrt(5)) = 2sqrt(11). Альтернативно можно вычислить через теорему косинусов: BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos 2alpha. Так как cos 2alpha = 2cos^2alpha - 1 = 2 * (11)/(16) - 1 = (3)/(8), то BC^2 = 49 + 16 - 2 * 7 * 4 * (3)/(8) = 65 - 21 = 44 => BC = 2sqrt(11). Ответ: 2sqrt(11)

а) \(AP = BP\) б) \(2\sqrt{11}\)