Задача №15292

В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $BAC$ в два раза больше угла $ABC\text{.}$ Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC\text{.}$ Окружность, описанная около треугольника $AOC\text{,}$ пересекает отрезок $BC$ в точках $C$ и $P\text{.}$

а) Докажите, что $AP=BP\text{.}$
б) Найдите длину стороны $BC\text{,}$ если $AB=7\text{,}$ $AC=4\text{.}$

а) Пусть $\angle ABC=\alpha \text{,}$ тогда $\angle BAC=2\alpha \text{,}$ $\angle ACB=180^{\circ }-3\alpha \text{.}$ Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC\text{.}$

Центральный угол $AOC$ опирается на дугу $AC\text{,}$ не содержащую $B\text{,}$ поэтому

$$\angle AOC=2\angle ABC=2\alpha .$$

Точки $A,O,C,P$ лежат на одной окружности, следовательно, $\angle APC=\angle AOC=2\alpha$ (вписанные углы, опирающиеся на дугу $AC$).

Так как $P$ лежит на отрезке $BC\text{,}$ то

$$\angle APB=180^{\circ }-\angle APC=180^{\circ }-2\alpha .$$

В треугольнике $ABP\text{:}$ $\angle ABP=\angle ABC=\alpha \text{.}$ Сумма углов треугольника $ABP\text{:}$

$$\angle BAP+\alpha +(180^{\circ }-2\alpha )=180^{\circ }\Rightarrow \angle BAP=\alpha .$$

Таким образом, $\angle BAP=\angle ABP=\alpha \text{,}$ поэтому треугольник $ABP$ равнобедренный: $AP=BP\text{.}$

б) По теореме синусов для треугольника $ABC\text{:}$

$$\frac{AC}{\sin \alpha }=\frac{AB}{\sin (180^{\circ }-3\alpha )}=\frac{AB}{\sin 3\alpha }.$$

Подставляем $AB=7\text{,}$ $AC=4\text{:}$

$$\frac{4}{\sin \alpha }=\frac{7}{\sin 3\alpha }.$$

Используем формулу $\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha \text{.}$ Тогда:

$$4\sin 3\alpha =7\sin \alpha \Rightarrow 4(3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha )=7\sin \alpha \Rightarrow 12\sin \alpha -16{\sin }^3\alpha =7\sin \alpha$$ $$5\sin \alpha -16{\sin }^3\alpha =0.$$

Так как $\sin \alpha \ne 0\text{,}$ получаем

$$16{\sin }^2\alpha =5\Rightarrow \sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{4}.$$

Тогда $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{5}{16}}=\frac{\sqrt{11}}{4}\text{.}$

Найдём значения $\sin 2\alpha$ и $\sin 3\alpha \text{:}$

$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{\sqrt{5}}{4}\cdot \frac{\sqrt{11}}{4}=\frac{\sqrt{55}}{8}.$$ $$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha =3\cdot \frac{\sqrt{5}}{4}-4\cdot {\left(\frac{\sqrt{5}}{4}\right)}^3=\frac{3\sqrt{5}}{4}-\frac{5\sqrt{5}}{16}=\frac{7\sqrt{5}}{16}.$$

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin 2\alpha }=\frac{AB}{\sin 3\alpha }\Rightarrow BC=AB\cdot \frac{\sin 2\alpha }{\sin 3\alpha }=7\cdot \frac{\frac{\sqrt{55}}{8}}{\frac{7\sqrt{5}}{16}}=7\cdot \frac{\sqrt{55}}{8}\cdot \frac{16}{7\sqrt{5}}=2\sqrt{11}.$$

Альтернативно можно вычислить через теорему косинусов: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 2\alpha \text{.}$
Так как $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=2\cdot \frac{11}{16}-1=\frac{3}{8}\text{,}$ то

$$B{C}^2=49+16-2\cdot 7\cdot 4\cdot \frac{3}{8}=65-21=44\Rightarrow BC=2\sqrt{11}.$$

Ответ: $2\sqrt{11}$