Задача №15291

а) Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла $BAD\text{.}$

б) Найдите $CD\text{,}$ если известны диагонали трапеции: $AC=12$ и $BD=6,5\text{.}$

а) Из условия:

• Треугольник $ABD$ равнобедренный с основанием $AD\text{,}$ значит, $AB=BD\text{.}$
• Треугольник $BCD$ равнобедренный с основанием $CD\text{,}$ значит, $BC=BD\text{.}$
  Следовательно,

$AB=BC=BD\text{.}$

Так как $AB=BC\text{,}$ треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC\text{,}$ поэтому

$\angle BAC=\angle BCA\text{.}$

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ параллельны, поэтому накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны:

$\angle BCA=\angle CAD\text{.}$

Из двух равенств углов получаем

$\angle BAC=\angle CAD\text{,}$

то есть луч $AC$ — биссектриса угла $BAD\text{.}$

б) По условию $AC=12\text{,}$ $BD=6,5\text{.}$ Из пункта а) имеем $AB=BC=BD=6,5\text{.}$
Точки $A\text{,}$ $D$ и $C$ находятся на окружности с центром $B$ и радиусом $6,5\text{.}$

Продолжим прямую $BC$ за точку $B$ до пересечения с этой окружностью в точке $E\text{.}$ Так как $B$ — центр, то $BE=6,5\text{,}$ а отрезок $CE$ является диаметром:

$$CE=CB+BE=6,5+6,5=13.$$

В трапеции $ABCD$ основания $AD\parallel BC\text{,}$ а $BC$ лежит на прямой $CE\text{,}$ поэтому $AD\parallel CE\text{.}$ Четырёхугольник $ADCE$ вписан в окружность и имеет параллельные основания, значит, это равнобедренная трапеция (вписанная трапеция равнобедренна). В ней диагонали равны:

$AC=DE=12\text{.}$

Поскольку $CE$ — диаметр, вписанный угол $CAE$ опирается на диаметр, поэтому $\angle CAE=90^{\circ }\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $CAE$ известны гипотенуза $CE=13$ и катет $AC=12\text{.}$ По теореме Пифагора находим второй катет:

$$AE=\sqrt{C{E}^2-A{C}^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5.$$

В равнобедренной трапеции $ADCE$ боковые стороны равны: $AE=CD\text{.}$ Следовательно,

$CD=5\text{.}$

Ответ: $5$