а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD. б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 12 и BD = 6,5.

а) Из условия: - Треугольник ABD равнобедренный с основанием AD, значит, AB = BD. - Треугольник BCD равнобедренный с основанием CD, значит, BC = BD. Следовательно, AB = BC = BD . Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, поэтому BAC = BCA . В трапеции ABCD основания AD и BC параллельны, поэтому накрест лежащие углы при секущей AC равны: BCA = CAD . Из двух равенств углов получаем BAC = CAD , то есть луч AC — биссектриса угла BAD. б) По условию AC = 12, BD = 6,5. Из пункта а) имеем AB = BC = BD = 6,5. Точки A, D и C находятся на окружности с центром B и радиусом 6,5. Продолжим прямую BC за точку B до пересечения с этой окружностью в точке E. Так как B — центр, то BE = 6,5, а отрезок CE является диаметром: CE = CB + BE = 6,5 + 6,5 = 13. В трапеции ABCD основания AD BC, а BC лежит на прямой CE, поэтому AD CE. Четырёхугольник ADCE вписан в окружность и имеет параллельные основания, значит, это равнобедренная трапеция (вписанная трапеция равнобедренна). В ней диагонали равны: AC = DE = 12 . Поскольку CE — диаметр, вписанный угол CAE опирается на диаметр, поэтому CAE = 90^. В прямоугольном треугольнике CAE известны гипотенуза CE = 13 и катет AC = 12. По теореме Пифагора находим второй катет: AE = sqrt(CE^2 - AC^2) = sqrt(13^2 - 12^2) = sqrt(169 - 144) = sqrt(25) = 5. В равнобедренной трапеции ADCE боковые стороны равны: AE = CD. Следовательно, CD = 5 . Ответ: 5

а) доказано б) 5