Задача №15290

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $A{A}_1\text{,}$ $B{B}_1$ и $C{C}_1$ пересекаются в точке $H\text{.}$ Через точку $C_1$ параллельно высоте $B{B}_1$ проведена прямая, пересекающая высоту $A{A}_1$ в точке $K\text{.}$

а) Докажите, что $AB\cdot KH=BC\cdot C_{1}H\text{.}$
б) Найдите отношение площадей треугольников $C_{1}HK$ и $ABC\text{,}$ если $AB=6\text{,}$ $BC=4\text{,}$ $AC=5\text{.}$

а)
1. Прямая $C_{1}K$ параллельна высоте $B{B}_1\text{,}$ а $B{B}_1\perp AC\text{,}$ следовательно, $C_{1}K\perp AC\text{.}$ Прямая $C_{1}H$ совпадает с высотой $C{C}_1\text{,}$ поэтому $C_{1}H\perp AB\text{.}$

2. Точки $A\text{,}$ $H\text{,}$ $K$ лежат на одной прямой, так как $K$ лежит на высоте $A{A}_1\text{,}$ а точка пересечения высот $H$ также принадлежит $A{A}_1\text{.}$ Следовательно, отрезок $HK$ лежит на прямой $A{A}_1\text{.}$

3. Угол между перпендикулярами $C_{1}K$ (к $AC$) и $C_{1}H$ (к $AB$) равен углу между прямыми $AC$ и $AB$ или дополняет его до $180^{\circ }\text{.}$ Таким образом, $\angle H{C}_{1}K=\angle A\text{.}$

4. В четырехугольнике $A_{1}B{C}_{1}H$ углы $\angle B{A}_{1}H$ и $\angle B{C}_{1}H$ прямые, поэтому сумма противоположных углов $\angle B+\angle A_{1}H{C}_1=180^{\circ }\text{.}$ Смежный с ним угол $\angle C_{1}HK=180^{\circ }-(180^{\circ }-\angle B)=\angle B\text{.}$

5. Из суммы углов треугольника $C_{1}HK\text{:}$

$$\angle HK{C}_1=180^{\circ }-\angle A-\angle B=\angle C.$$

6. Таким образом, $△ABC\sim △C_{1}HK$ по двум углам. Из подобия треугольников следует отношение сходственных сторон:

$$\frac{AB}{C_{1}H}=\frac{BC}{KH}\Rightarrow AB\cdot KH=BC\cdot C_{1}H.$$

б)
1. Для $AB=6\text{,}$ $BC=4\text{,}$ $AC=5$ найдем площадь $S_{ABC}$ по формуле Герона. Полупериметр $p=\frac{6+4+5}{2}=7,5\text{:}$

$$S_{ABC}=\sqrt{7,5\cdot (7,5-6)\cdot (7,5-5)\cdot (7,5-4)}=\sqrt{7,5\cdot 1,5\cdot 2,5\cdot 3,5}=\frac{15\sqrt{7}}{4}.$$

2. Высота $C{C}_1$ (обозначим её $h_c$):

$$h_c=\frac{2S_{ABC}}{AB}=\frac{2\cdot \frac{15\sqrt{7}}{4}}{6}=\frac{5\sqrt{7}}{4}.$$

3. По теореме косинусов для $△ABC\text{:}$

$$\cos C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2\cdot AC\cdot BC}=\frac{25+16-36}{2\cdot 5\cdot 4}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}.$$

4. Радиус описанной окружности $R\text{:}$

$$R=\frac{abc}{4S_{ABC}}=\frac{4\cdot 5\cdot 6}{4\cdot \frac{15\sqrt{7}}{4}}=\frac{8\sqrt{7}}{7}.$$

5. Длина отрезка $CH\text{:}$

$$CH=2R\cos C=2\cdot \frac{8\sqrt{7}}{7}\cdot \frac{1}{8}=\frac{2\sqrt{7}}{7}.$$

6. Находим длину $C_{1}H\text{:}$

$$C_{1}H=h_c-CH=\frac{5\sqrt{7}}{4}-\frac{2\sqrt{7}}{7}=\frac{35\sqrt{7}-8\sqrt{7}}{28}=\frac{27\sqrt{7}}{28}.$$

7. Из подобия $△C_{1}HK\sim △ABC$ коэффициент подобия $k\text{:}$

$$k=\frac{C_{1}H}{AB}=\frac{\frac{27\sqrt{7}}{28}}{6}=\frac{9\sqrt{7}}{56}.$$

Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{C_{1}HK}}{S_{ABC}}=k^2={\left(\frac{9\sqrt{7}}{56}\right)}^2=\frac{81\cdot 7}{56^2}=\frac{81}{448}.$$

Ответ: $\frac{81}{448}$