В остроугольном треугольнике ABC высоты AA_1 , BB_1 и CC_1 пересекаются в точке H . Через точку C_1 параллельно высоте BB_1 проведена прямая, пересекающая высоту AA_1 в точке K . а) Докажите, что AB * KH = BC * C_1H . б) Найдите отношение площадей треугольников C_1HK и ABC , если AB = 6 , BC = 4 , AC = 5 .

а) 1. Прямая C_1K параллельна высоте BB_1 , а BB_1 AC , следовательно, C_1K AC . Прямая C_1H совпадает с высотой CC_1 , поэтому C_1H AB . 2. Точки A , H , K лежат на одной прямой, так как K лежит на высоте AA_1 , а точка пересечения высот H также принадлежит AA_1 . Следовательно, отрезок HK лежит на прямой AA_1 . 3. Угол между перпендикулярами C_1K (к AC ) и C_1H (к AB ) равен углу между прямыми AC и AB или дополняет его до 180^ . Таким образом, HC_1K = A . 4. В четырехугольнике A_1BC_1H углы BA_1H и BC_1H прямые, поэтому сумма противоположных углов B + A_1HC_1 = 180^ . Смежный с ним угол C_1HK = 180^ - (180^ - B) = B . 5. Из суммы углов треугольника C_1HK : HKC_1 = 180^ - A - B = C. 6. Таким образом, ABC C_1HK по двум углам. Из подобия треугольников следует отношение сходственных сторон: (AB)/(C_1H) = (BC)/(KH) => AB * KH = BC * C_1H. б) 1. Для AB = 6 , BC = 4 , AC = 5 найдем площадь S_(ABC) по формуле Герона. Полупериметр p = (6+4+5)/(2) = 7,5 : S_(ABC) = sqrt(7,5 * (7,5 - 6) * (7,5 - 5) * (7,5 - 4)) = sqrt(7,5 * 1,5 * 2,5 * 3,5) = (15sqrt(7))/(4). 2. Высота CC_1 (обозначим её h_c ): h_c = (2S_(ABC))/(AB) = (2 * 15sqrt(7)4)/(6) = (5sqrt(7))/(4). 3. По теореме косинусов для ABC : cos C = (AC^2 + BC^2 - AB^2)/(2 * AC * BC) = (25 + 16 - 36)/(2 * 5 * 4) = (5)/(40) = (1)/(8). 4. Радиус описанной окружности R : R = (abc)/(4S_(ABC)) = (4 * 5 * 6)/(4 * 15sqrt(7)4) = (8sqrt(7))/(7). 5. Длина отрезка CH : CH = 2R cos C = 2 * (8sqrt(7))/(7) * (1)/(8) = (2sqrt(7))/(7). 6. Находим длину C_1H : C_1H = h_c - CH = (5sqrt(7))/(4) - (2sqrt(7))/(7) = (35sqrt(7) - 8sqrt(7))/(28) = (27sqrt(7))/(28). 7. Из подобия C_1HK ABC коэффициент подобия k : k = (C_1H)/(AB) = (27sqrt(7)28)/(6) = (9sqrt(7))/(56). Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия: (S_(C_1HK))/(S_(ABC)) = k^2 = ( (9sqrt(7))/(56) )^2 = (81 * 7)/(56^2) = (81)/(448). Ответ: (81)/(448)

а) \( AB \cdot KH = BC \cdot C_1H \) б) \( \dfrac{81}{448} \)