В треугольнике ABC угол A равен 120^ . Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC , пересекаются в точке H . Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC . а) Докажите, что AH = AO . б) Найдите площадь треугольника AHO , если BC = sqrt(15) , ABC = 45^ .

а) Пусть O — центр описанной окружности, AA' — диаметр этой окружности. Так как AA' — диаметр, то ACA'=90^ , значит, A'C AC. Но BH AC (так как BH лежит на высоте из B). Следовательно, BH A'C. Аналогично, ABA'=90^ , значит, A'B AB, а CH AB, поэтому CH A'B. Итак, в четырёхугольнике A'BHC имеем A'B HC и A'C BH, значит, A'BHC — параллелограмм. Тогда его диагонали A'H и BC пересекаются и делятся пополам. Обозначим через M точку их пересечения. Тогда M — середина BC и одновременно середина A'H. Так как M — середина BC, то OM BC и MB=(BC)/(2). В треугольнике OBC имеем OB=OC=R, поэтому OM — высота, и OM^2=OB^2-MB^2=R^2-((BC)/(2))^2. Но BC=2Rsin A, значит MB=Rsin A, и OM^2=R^2-R^2sin^2 A=R^2cos^2 A=> OM=R|cos A|. Поскольку M — середина A'H, то OM=(OA'+OH)/(2). А так как AA' — диаметр, то OA'=-OA . Тогда OH=2OM-OA'=2OM+OA, и AH=OH-OA=2OM=> AH=2OM. Следовательно, AH=2R|cos A|. При A=120^ имеем |cos 120^|=(1)/(2) , значит AH=2R*(1)/(2)=R. Но AO=R. Поэтому AH=AO. б) По теореме синусов (BC)/(sin A)=2R. Подставляя BC=sqrt(15), sin 120^=(sqrt(3))/(2) , получаем 2R=(sqrt(15))/(sqrt(3)/2)=(2sqrt(15))/(sqrt(3))=2sqrt(5)=> R=sqrt(5). Значит, AO=R=sqrt(5), а по пункту а) AH=sqrt(5). Найдём sin HAO . Угол OAB в равнобедренном треугольнике AOB равен OAB=90^- C. Кроме того, AH BC, поэтому HAB=90^- B. Следовательно, острый угол между прямыми AO и AH равен | OAB- HAB|=|(90^-C)-(90^-B)|=|B-C|, а значит sin HAO=sin|B-C| . Здесь B=45^, C=180^-120^-45^=15^, поэтому |B-C|=30^ и sin HAO=sin 30^=(1)/(2) . Тогда площадь S_(AHO)=(1)/(2)* AO* AH*sin HAO =(1)/(2)*sqrt(5)*sqrt(5)*(1)/(2)=(5)/(4). Ответ: (5)/(4) .

\( \dfrac{5}{4} \)