В треугольнике ABC продолжения высоты CC_1 и биссектрисы BB_1 пересекают описанную окружность в точках N и M соответственно, ABC = 40^, ACB = 85^. а) Докажите, что BM = CN. б) Прямые BC и MN пересекаются в точке D. Найдите площадь треугольника BDN, если его высота BH равна 6.
а) Даны ABC=40^, ACB=85^, значит BAC = 180^ - 40^ - 85^ = 55^. Тогда для описанной окружности треугольника ABC: AC = 2 ABC = 80^, AB = 2 ACB = 170^, BC = 2 BAC = 110^. Точка M — пересечение продолжения биссектрисы BB_1 с окружностью, поэтому ABM = (1)/(2) ABC = 20^, и, следовательно, AM = 2 ABM = 40^. Так как M лежит на дуге AC, не содержащей B, получаем CM = AC - AM = 80^ - 40^ = 40^. Точка N — пересечение продолжения высоты CC_1 с окружностью. Поскольку CC_1 AB, то ACN = ACC_1 = 90^ - CAB = 90^ - 55^ = 35^, и потому AN = 2 ACN = 70^. Теперь найдём малые дуги, соответствующие хордам BM и CN: BM = BC + CM = 110^ + 40^ = 150^, CN = CA + AN = 80^ + 70^ = 150^. Равные дуги стягивают равные хорды, значит BM = CN. б) Пусть D = BCn MN. Так как Din MN, то луч ND совпадает с лучом NM, и BND = BNM. Но BNM — вписанный угол, опирающийся на дугу BM = 150^, поэтому BND = BNM = (150^)/(2) = 75^. Аналогично, так как Din BC, то луч BD совпадает с лучом BC, и NBD = NBC. Угол NBC — вписанный, опирающийся на дугу NC = 150^, значит NBD = NBC = (150^)/(2) = 75^. Следовательно, BND = NBD, поэтому BDN равнобедренный и BD = DN. Тогда BDN = 180^ - 75^ - 75^ = 30^. Пусть BH — высота треугольника BDN к стороне DN, BH = 6. В прямоугольном треугольнике BDH (прямой угол при H) имеем BDH = BDN = 30^, поэтому sin 30^ = (BH)/(BD)=> BD = (6)/(sin 30^) = (6)/(1/2) = 12. Значит, DN = BD = 12, и площадь S_(BDN) = (1)/(2)* DN* BH = (1)/(2)* 12* 6 = 36. Ответ: а) BM = CN б) 36
а) \(BM = CN\)
б) 36