Задача №15287

В треугольнике $ABC$ продолжения высоты $C{C}_1$ и биссектрисы $B{B}_1$ пересекают описанную окружность в точках $N$ и $M$ соответственно, $\angle ABC=40^{\circ }\text{,}$ $\angle ACB=85^{\circ }\text{.}$

а) Докажите, что $BM=CN\text{.}$

б) Прямые $BC$ и $MN$ пересекаются в точке $D\text{.}$ Найдите площадь треугольника $BDN\text{,}$ если его высота $BH$ равна 6.

а) Даны $\angle ABC=40^{\circ }\text{,}$ $\angle ACB=85^{\circ }\text{,}$ значит

$$\angle BAC=180^{\circ }-40^{\circ }-85^{\circ }=55^{\circ }.$$

Тогда для описанной окружности треугольника $ABC\text{:}$

$$\stackrel{⌢}{\mathrm{AC}}=2\angle ABC=80^{\circ },\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}=2\angle ACB=170^{\circ },\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}=2\angle BAC=110^{\circ }.$$

Точка $M$ — пересечение продолжения биссектрисы $B{B}_1$ с окружностью, поэтому $\angle ABM=\frac{1}{2}\angle ABC=20^{\circ }\text{,}$ и, следовательно,

$$\stackrel{⌢}{\mathrm{AM}}=2\angle ABM=40^{\circ }.$$

Так как $M$ лежит на дуге $AC\text{,}$ не содержащей $B\text{,}$ получаем

$$\stackrel{⌢}{\mathrm{CM}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{AC}}-\stackrel{⌢}{\mathrm{AM}}=80^{\circ }-40^{\circ }=40^{\circ }.$$

Точка $N$ — пересечение продолжения высоты $C{C}_1$ с окружностью. Поскольку $C{C}_1\perp AB\text{,}$ то

$$\angle ACN=\angle AC{C}_1=90^{\circ }-\angle CAB=90^{\circ }-55^{\circ }=35^{\circ },$$

и потому

$$\stackrel{⌢}{\mathrm{AN}}=2\angle ACN=70^{\circ }.$$

Теперь найдём малые дуги, соответствующие хордам $BM$ и $CN\text{:}$

$$\stackrel{⌢}{\mathrm{BM}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}+\stackrel{⌢}{\mathrm{CM}}=110^{\circ }+40^{\circ }=150^{\circ },$$ $$\stackrel{⌢}{\mathrm{CN}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{CA}}+\stackrel{⌢}{\mathrm{AN}}=80^{\circ }+70^{\circ }=150^{\circ }.$$

Равные дуги стягивают равные хорды, значит $BM=CN\text{.}$

б) Пусть $D=BC\cap MN\text{.}$ Так как $D\in MN\text{,}$ то луч $ND$ совпадает с лучом $NM\text{,}$ и $\angle BND=\angle BNM\text{.}$

Но $\angle BNM$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $\stackrel{⌢}{\mathrm{BM}}=150^{\circ }\text{,}$ поэтому

$$\angle BND=\angle BNM=\frac{150^{\circ }}{2}=75^{\circ }.$$

Аналогично, так как $D\in BC\text{,}$ то луч $BD$ совпадает с лучом $BC\text{,}$ и $\angle NBD=\angle NBC\text{.}$

Угол $\angle NBC$ — вписанный, опирающийся на дугу $\stackrel{⌢}{\mathrm{NC}}=150^{\circ }\text{,}$ значит

$$\angle NBD=\angle NBC=\frac{150^{\circ }}{2}=75^{\circ }.$$

Следовательно, $\angle BND=\angle NBD\text{,}$ поэтому $△BDN$ равнобедренный и $BD=DN\text{.}$ Тогда $\angle BDN=180^{\circ }-75^{\circ }-75^{\circ }=30^{\circ }\text{.}$

Пусть $BH$ — высота треугольника $BDN$ к стороне $DN\text{,}$ $BH=6\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $BDH$ (прямой угол при $H$) имеем $\angle BDH=\angle BDN=30^{\circ }\text{,}$ поэтому

$$\sin 30^{\circ }=\frac{BH}{BD}\Rightarrow BD=\frac{6}{\sin 30^{\circ }}=\frac{6}{1/2}=12.$$

Значит, $DN=BD=12\text{,}$ и площадь

$$S_{BDN}=\frac{1}{2}\cdot DN\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 6=36.$$

Ответ:

а) $BM=CN$

б) 36