Задача №15286

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на $r$ % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите $r\text{.}$

Пусть сумма кредита $S\text{,}$ $q=1+\frac{r}{100}\text{.}$

В случае ежегодного платежа $58564$ руб. за 4 года:

$$S=58564\left(\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+\frac{1}{q^3}+\frac{1}{q^4}\right)$$

В случае платежа $106964$ руб. за 2 года:

$$S=106964\left(\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}\right)$$

Приравниваем:

$$58564\left(\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+\frac{1}{q^3}+\frac{1}{q^4}\right)=106964\left(\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}\right)$$

Обозначим $x=\frac{1}{q}\text{,}$ $x>0\text{.}$ Тогда:

$$58564(x+x^2+x^3+x^4)=106964(x+x^2)$$

Делим на $x\text{:}$

$$58564(1+x+x^2+x^3)=106964(1+x)$$ $$58564+58564x+58564x^2+58564x^3=106964+106964x$$ $$58564x^3+58564x^2-48400x-48400=0$$ $$(x+1)(58564x^2-48400)=0$$

Так как $x+1\ne 0\text{,}$ то $58564x^2=48400$

$$x^2=\frac{48400}{58564}=\frac{12100}{14641}={\left(\frac{110}{121}\right)}^2$$ $$x=\frac{110}{121}$$

Тогда $q=\frac{1}{x}=\frac{121}{110}=1,1\text{,}$ значит $r=10\text{.}$

Ответ: $r=10$