В квадрате ABCD точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CM и DN пересекаются в точке K . а) Докажите, что BKM = 45^ . б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABK , если AB = 2sqrt(10) .

Пусть сторона квадрата равна a . а) Рассмотрим MBC и NCD . По условию MB = NC = (a)/(2) , BC = CD = a и MBC = NCD = 90^ . Следовательно, MBC = NCD по двум катетам. Из равенства треугольников следует, что MCB = NDC . Обозначим этот угол как alpha . Тогда KCD = BCD - MCB = 90^ - alpha . В KCD сумма углов равна 180^ , откуда: CKD = 180^ - ( KCD + KDC) = 180^ - (90^ - alpha + alpha) = 90^ Следовательно, MKN = CKD = 90^ (как вертикальные). В четырёхугольнике MBNK сумма противоположных углов MBN + MKN = 90^ + 90^ = 180^ , значит, около него можно описать окружность. Углы BKM и BNM опираются на одну и ту же дугу BM описанной окружности, следовательно, BKM = BNM . В прямоугольном MBN катеты MB = BN = (a)/(2) , значит, он равнобедренный и BNM = 45^ . Таким образом, BKM = 45^ , что и требовалось доказать. б) По условию a = 2sqrt(10) . Найдем стороны ABK . Из MBC по теореме Пифагора MC = sqrt(a^2 + (a/2)^2) = (asqrt(5))/(2) . Тогда sin alpha = (MB)/(MC) = (a/2)/(asqrt(5)/2) = (1)/(sqrt(5)) и cos alpha = (2)/(sqrt(5)) . В KCD : DK = CD * cos alpha = (2a)/(sqrt(5)) . В ADK по теореме косинусов (учитывая, что ADK = 90^ - alpha ): AK^2 = AD^2 + DK^2 - 2 * AD * DK * cos(90^ - alpha) = a^2 + (4a^2)/(5) - 2 * a * (2a)/(sqrt(5)) * sin alpha = a^2 + (4a^2)/(5) - (4a^2)/(5) = a^2 Значит, AK = a = 2sqrt(10) . Треугольник ABK равнобедренный ( AB = AK = a ). Найдем основание BK из BKC по теореме косинусов ( CK = CD * sin alpha = (a)/(sqrt(5)) ): BK^2 = BC^2 + CK^2 - 2 * BC * CK * cos alpha = a^2 + (a^2)/(5) - 2 * a * (a)/(sqrt(5)) * (2)/(sqrt(5)) = a^2 + (a^2)/(5) - (4a^2)/(5) = (2a^2)/(5) Подставляя a^2 = 40 , получаем BK^2 = (2 * 40)/(5) = 16 , откуда BK = 4 . Пусть R — радиус описанной окружности ABK , а = BAK . По теореме косинусов для BK : cos = (AB^2 + AK^2 - BK^2)/(2 * AB * AK) = (40 + 40 - 16)/(2 * 40) = (64)/(80) = 0,8 Тогда sin = sqrt(1 - 0,8^2) = 0,6 . По теореме синусов: R = (BK)/(2 sin ) = (4)/(2 * 0,6) = (2)/(0,6) = (20)/(6) = (10)/(3) Ответ: (10)/(3)

а) \( 45^\circ \) б) \( \dfrac{10}{3} \)