В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = CE. а) Докажите, что AL* BC = AB* AC. б) Найдите EL, если AC = 8, tg BCA = (1)/(2).

а) Доказательство равенства AL* BC = AB* AC. Рассмотрим треугольники ABL и ABC. В треугольнике ABL по теореме синусов: (AL)/(sin ABL) = (AB)/(sin ALB). В треугольнике ABC по теореме синусов: (AC)/(sin ABC) = (BC)/(sin BAC). Обозначим CAD = alpha, тогда BAC = 2alpha. Так как AD BC, то BCA = CAD = alpha (как накрест лежащи е). В треугольнике ABC: BAC = 2alpha, BCA = alpha, значит ABC = 180^ - 3alpha. Биссектриса AL делит BAC пополам, поэтому BAL = LAC = alpha. В треугольнике ABL: BAL = alpha, ABL = ABC = 180^ - 3alpha, откуда ALB = 180^ - alpha - (180^ - 3alpha) = 2alpha. Подставляем в отношения: (AL)/(sin(180^ - 3alpha)) = (AB)/(sin 2alpha) => (AL)/(sin 3alpha) = (AB)/(sin 2alpha), (AC)/(sin(180^ - 3alpha)) = (BC)/(sin 2alpha) => (AC)/(sin 3alpha) = (BC)/(sin 2alpha). Из этих пропорций получаем: (AL)/(AB) = (sin 3alpha)/(sin 2alpha) = (AC)/(BC), откуда AL* BC = AB* AC. Равенство доказано. б) Найдём EL при AC = 8, tg BCA = (1)/(2). Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Тогда O — середина AC. Поместим начало координат в точку O, ось Ox направим вдоль AC. Тогда A(-4,0), C(4,0). Обозначим alpha = BCA. Из условия = (1)/(2), откуда = (1)/(sqrt(5)), = (2)/(sqrt(5)). Вычислим: sin 2alpha = 2 = (4)/(5), cos 2alpha = cos^2alpha - sin^2alpha = (3)/(5), sin 3alpha = sin(2alpha + alpha) = sin 2alpha + cos 2alpha = (11)/(5sqrt(5)). В треугольнике ABC по теореме синусов: (AB)/() = (BC)/(sin 2alpha) = (AC)/(sin 3alpha) = (8)/(115sqrt(5)) = (40sqrt(5))/(11). Отсюда: AB = (40sqrt(5))/(11)* = (40sqrt(5))/(11)*(1)/(sqrt(5)) = (40)/(11), BC = (40sqrt(5))/(11)*sin 2alpha = (40sqrt(5))/(11)*(4)/(5) = (32sqrt(5))/(11). Найдём координаты точки B. Вектор AB имеет длину 40/11 и образует с AC = (8,0) угол 2alpha, причём cos 2alpha = 3/5. Пусть B(x_B, y_B). Тогда AB = (x_B + 4, y_B). (x_B + 4)/(AB) = cos 2alpha = (3)/(5) => x_B + 4 = (40)/(11)*(3)/(5) = (24)/(11) => x_B = (24)/(11) - 4 = -(20)/(11). Из длины AB: (x_B+4)^2 + y_B^2 = ((40)/(11))^2 => ((24)/(11))^2 + y_B^2 = (1600)/(121) => y_B^2 = (1024)/(121) => y_B = (32)/(11) (выбираем положительную ординату, чтобы угол alpha был положительным). Итак, B(-(20)/(11), (32)/(11)). В параллелограмме D = A + C - B = (-4+4 - (-(20)/(11)), 0+0 - (32)/(11)) = ((20)/(11), -(32)/(11)). Точка L — точка пересечения биссектрисы угла BAC со стороной BC. По свойству биссектрисы: (BL)/(LC) = (AB)/(AC) = (40/11)/(8) = (5)/(11). Значит, L делит отрезок BC в отношении 5:11 от B к C. Координаты: x_L = x_B + (5)/(16)(x_C - x_B) = -(20)/(11) + (5)/(16)(4 + (20)/(11)) = -(20)/(11) + (5)/(16)*(64)/(11) = 0, y_L = y_B + (5)/(16)(y_C - y_B) = (32)/(11) + (5)/(16)(0 - (32)/(11)) = (32)/(11) - (10)/(11) = 2. Таким образом, L(0,2). Найдём точку E на продолжении CD за точку D. Прямая CD проходит через C(4,0) и D((20)/(11), -(32)/(11)). Направляющий вектор: CD = (-(24)/(11), -(32)/(11)) = -(8)/(11)(3,4). Параметризуем: E = C + t(3,4), где t — параметр. При t = -(8)/(11) получаем точку D, а при t < -(8)/(11) — точку на продолжении за D. Пусть E = (4+3t, 4t). Условие AE = CE даёт: AE^2 = (4+3t+4)^2 + (4t)^2 = (3t+8)^2 + 16t^2, CE^2 = (3t)^2 + (4t)^2 = 25t^2. Приравниваем: (3t+8)^2 + 16t^2 = 25t^2 => 9t^2 + 48t + 64 + 16t^2 = 25t^2 => 48t + 64 = 0 => t = -(4)/(3). Тогда E = (4+3*(-(4)/(3)), 4*(-(4)/(3))) = (0, -(16)/(3)). Точки L(0,2) и E(0,-(16)/(3)) лежат на одной вертикальной прямой, поэтому EL = |2 - (-(16)/(3))| = 2 + (16)/(3) = (22)/(3). Ответ: а) Доказано. б) (22)/(3) .

\(\dfrac{22}{3}\)