Задача №15280

Решите неравенство

$$\frac{2^{3x}-2\cdot 4^{x+1}+5\cdot 2^{x+2}-16}{x-1}⩾0.$$

Преобразуем числитель: $2^{3x}=(2^x{)}^3\text{,}$ $4^{x+1}=4\cdot 4^x=4\cdot (2^x{)}^2\text{,}$ $2^{x+2}=4\cdot 2^x\text{.}$

Пусть $t=2^x>0\text{.}$

Тогда числитель: $t^3-2\cdot 4t^2+5\cdot 4t-16=t^3-8t^2+20t-16\text{.}$

Проверим корни: $t=2\text{:}$ $8-32+40-16=0\text{.}$

Делим на $t-2\text{:}$ $(t-2)(t^2-6t+8)=(t-2)(t-2)(t-4)=(t-2{)}^2(t-4)\text{.}$

Исходное неравенство: $\frac{(t-2{)}^2(t-4)}{x-1}\ge 0\text{,}$ где $t=2^x\text{.}$

Так как $(t-2{)}^2⩾0$ при всех $t\text{,}$ то знак дроби определяется множителями $(t-4)$ и $(x-1)\text{.}$

Учитываем, что $(t-2{)}^2=0$ при $t=2\text{,}$ т.е. $2^x=2\Rightarrow x=1\text{,}$ но при $x=1$ знаменатель обращается в ноль, поэтому $x=1$ не входит в ОДЗ.

Тогда неравенство равносильно системе:

$$\{\begin{array}{l}\frac{t-4}{x-1}⩾0,\\ t>0,\\ x\ne 1.\end{array}$$

где $t=2^x\text{.}$

Рассмотрим два случая:

1) $t-4⩾0$ и $x-1>0\text{:}$ $2^x⩾4\Rightarrow x⩾2$ и $x>1\text{,}$ пересечение: $x⩾2\text{.}$

2) $t-4⩽0$ и $x-1<0\text{:}$ $2^x⩽4\Rightarrow x⩽2$ и $x<1\text{,}$ пересечение: $x<1\text{.}$

Также учтём, что при $t=4$ (т.е. $x=2$) числитель равен нулю, это решение входит. При $t=2$ (т.е. $x=1$) не входит.

Ответ: $x<1$ или $x⩾2\text{.}$