Сумма оснований трапеции равна 10, а её диагонали равны 6 и 8. а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны. б) Найдите высоту трапеции.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, причём AD>BC. Пусть AD+BC=10, диагонали AC=6, BD=8. а) Докажем, что диагонали трапеции перпендикулярны. 1. Проведём через вершину C прямую, параллельную диагонали BD. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания AD в точке E. Тогда четырёхугольник BCED — параллелограмм, так как BC DE (по определению трапеции) и BD CE (по построению). 2. В параллелограмме BCED: DE = BC и CE = BD = 8. 3. Теперь рассмотрим треугольник ACE. В нём: - AC = 6 (дано), - CE = 8 (из параллелограмма), - AE = AD + DE = AD + BC = 10 (поскольку DE=BC, а сумма оснований равна 10). Таким образом, стороны треугольника ACE равны 6, 8 и 10. 4. Заметим: 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2. По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ACE является прямоугольным с прямым углом C. Значит, AC CE. 5. По построению CE BD, поэтому AC BD. Следовательно, диагонали трапеции перпендикулярны, что и требовалось доказать. б) Найдём высоту трапеции. 1. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. По доказанному, AOD = 90^. 2. Площадь трапеции можно выразить через её диагонали и угол между ними: S_(трап) = (1)/(2)* AC* BD*sin AOD. Поскольку AOD = 90^, sin 90^ = 1, поэтому S_(трап) = (1)/(2)* 6* 8* 1 = 24. 3. С другой стороны, площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: S_(трап) = (AD+BC)/(2)* h = (10)/(2)* h = 5h. 4. Приравниваем выражения для площади: 5h = 24 => h = (24)/(5) = 4.8. Ответ: 4.8

а) доказано б) 4,8