Задача №15279

Сумма оснований трапеции равна 10, а её диагонали равны 6 и 8.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC\text{,}$ причём $AD>BC\text{.}$ Пусть $AD+BC=10\text{,}$ диагонали $AC=6\text{,}$ $BD=8\text{.}$

а) Докажем, что диагонали трапеции перпендикулярны.
1. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD\text{.}$ Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E\text{.}$ Тогда четырёхугольник $BCED$ — параллелограмм, так как $BC\parallel DE$ (по определению трапеции) и $BD\parallel CE$ (по построению).
2. В параллелограмме $BCED\text{:}$
$DE=BC$ и $CE=BD=8\text{.}$
3. Теперь рассмотрим треугольник $ACE\text{.}$ В нём:

• $AC=6$ (дано),
• $CE=8$ (из параллелограмма),
• $AE=AD+DE=AD+BC=10$ (поскольку $DE=BC\text{,}$ а сумма оснований равна 10).
  Таким образом, стороны треугольника $ACE$ равны 6, 8 и 10.
  4. Заметим: $6^2+8^2=36+64=100=10^2\text{.}$
  По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $ACE$ является прямоугольным с прямым углом $C\text{.}$ Значит, $AC\perp CE\text{.}$
  5. По построению $CE\parallel BD\text{,}$ поэтому $AC\perp BD\text{.}$
  Следовательно, диагонали трапеции перпендикулярны, что и требовалось доказать.

б) Найдём высоту трапеции.
1. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD\text{.}$ По доказанному, $\angle AOD=90^{\circ }\text{.}$
2. Площадь трапеции можно выразить через её диагонали и угол между ними:

$$S_{\text{трап}}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\cdot \sin \angle AOD.$$

Поскольку $\angle AOD=90^{\circ }\text{,}$ $\sin 90^{\circ }=1\text{,}$ поэтому

$$S_{\text{трап}}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot 1=24.$$

3. С другой стороны, площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

$$S_{\text{трап}}=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{10}{2}\cdot h=5h.$$

4. Приравниваем выражения для площади:

$$5h=24\Rightarrow h=\frac{24}{5}=\mathrm{4.8.}$$

Ответ: $4.8$