Задача №15278

В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно так, что $AM:MB=CN:NB=2:3\text{.}$ Окружность, вписанная в треугольник $ABC\text{,}$ касается отрезка $MN$ в точке $L\text{.}$

а) Докажите, что $AB+BC=4AC\text{.}$

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC\text{,}$ если $ML=\frac{9}{5}\text{,}$ $LN=3\text{.}$

а) Так как $\frac{AM}{MB}=\frac{CN}{NB}=\frac{2}{3}\text{,}$ то $\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}=\frac{3}{5}\text{.}$ Следовательно, $△ABC\sim △MBN$ (по двум сторонам и углу между ними), откуда

• $MN\parallel AC\text{,}$
• $\frac{MN}{AC}=\frac{3}{5}\text{,}$ то есть $MN=\frac{3}{5}AC\text{.}$

Пусть вписанная окружность касается $AB,BC,AC$ в точках $F,E,P$ соответственно, а $MN$ — в точке $L\text{.}$ Обозначим длины касательных от вершин:

$$AF=AP=x,BF=BE=y,CE=CP=z.$$

Тогда

$$AB=x+y,BC=y+z,AC=x+z.$$

Кроме того,

$$AM=\frac{2}{5}AB=\frac{2}{5}(x+y),CN=\frac{2}{5}BC=\frac{2}{5}(y+z).$$

Из точки $M$ к окружности проведены касательные $MF$ (по прямой $AB$) и $ML$ (по прямой $MN$), значит $MF=ML\text{.}$ Аналогично $NE=NL\text{.}$ Поэтому

$$MN=ML+LN=MF+NE.$$

Покажем, что обязательно $F\in AM$ и $E\in CN\text{.}$

1) Предположим, что $F\in MB\text{.}$ Тогда

$$MF=AF-AM=x-\frac{2}{5}(x+y)=\frac{3x-2y}{5}.$$

• Если при этом $E\in CN\text{,}$ то

$$NE=CN-CE=\frac{2}{5}(y+z)-z=\frac{2y-3z}{5},$$

и

$$MN=MF+NE=\frac{3x-2y+2y-3z}{5}=\frac{3(x-z)}{5}.$$

Но также $MN=\frac{3}{5}AC=\frac{3}{5}(x+z)\text{,}$ откуда $x-z=x+z\Rightarrow z=0\text{,}$ невозможно.

• Если же $E\in NB\text{,}$ то

$$NE=CE-CN=z-\frac{2}{5}(y+z)=\frac{3z-2y}{5},$$

и

$$MN=MF+NE=\frac{3x-2y+3z-2y}{5}=\frac{3(x+z)-4y}{5}.$$

Сравнивая с $MN=\frac{3}{5}(x+z)\text{,}$ получаем $y=0\text{,}$ невозможно.

Противоречие, значит $F\notin MB\text{,}$ то есть $F\in AM\text{.}$

2) Аналогично, предположение $E\in NB$ приводит к противоречию (симметричный разбор случае

в), значит $E\in CN\text{.}$

Теперь (так как $F\in AM$ и $E\in CN$) имеем

$$MF=AM-AF=\frac{2}{5}(x+y)-x=\frac{2y-3x}{5},$$ $$NE=CN-CE=\frac{2}{5}(y+z)-z=\frac{2y-3z}{5}.$$

Тогда

$$MN=MF+NE=\frac{4y-3(x+z)}{5}.$$

Но $MN=\frac{3}{5}AC=\frac{3}{5}(x+z)\text{.}$ Следовательно,

$$\frac{4y-3(x+z)}{5}=\frac{3(x+z)}{5}\Rightarrow 4y=6(x+z)\Rightarrow 2y=3(x+z).$$

Тогда

$$AB+BC=(x+y)+(y+z)=x+z+2y=(x+z)+3(x+z)=4(x+z)=4AC.$$

б) По условию $ML=\frac{9}{5}\text{,}$ $LN=3\text{.}$ Так как $MF=ML$ и $NE=NL\text{,}$ получаем

$$MF=\frac{9}{5},NE=3,MN=ML+LN=\frac{24}{5}.$$

Из подобия $MN=\frac{3}{5}AC\text{,}$ значит

$$AC=\frac{5}{3}MN=\frac{5}{3}\cdot \frac{24}{5}=8.$$

По пункту а) $AB+BC=4AC=32\text{.}$ Но

$$AB+BC=(x+y)+(y+z)=AC+2y=8+2y,$$

откуда $8+2y=32\Rightarrow y=12\text{.}$

Так как $F\in AM$ и $E\in CN\text{,}$ то

$$MF=AM-AF=\frac{2}{5}(x+y)-x=\frac{2}{5}(x+12)-x=\frac{9}{5}.$$

Умножая на 5:

$$2(x+12)-5x=9\Rightarrow -3x+24=9\Rightarrow x=5.$$

Аналогично из $NE=CN-CE\text{:}$

$$\frac{2}{5}(y+z)-z=3\Rightarrow \frac{2}{5}(12+z)-z=3\Rightarrow 2(12+z)-5z=15\Rightarrow -3z+24=15\Rightarrow z=3.$$

Тогда стороны треугольника:

$$AB=x+y=17,BC=y+z=15,AC=x+z=8.$$

Поскольку $15^2+8^2=17^2\text{,}$ треугольник прямоугольный (гипотенуза $AB$), его площадь

$$S=\frac{BC\cdot AC}{2}=\frac{15\cdot 8}{2}=60.$$

Полупериметр $s=\frac{17+15+8}{2}=20\text{.}$ Радиус вписанной окружности

$$r=\frac{S}{s}=\frac{60}{20}=3.$$

Ответ: 3.