В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и BC соответственно так, что AM:MB = CN:NB = 2:3 . Окружность, вписанная в треугольник ABC , касается отрезка MN в точке L . а) Докажите, что AB + BC = 4AC . б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC , если ML = (9)/(5) , LN = 3 .

а) Так как (AM)/(MB)=(CN)/(NB)=(2)/(3), то (BM)/(BA)=(BN)/(BC)=(3)/(5). Следовательно, ABC MBN (по двум сторонам и углу между ними), откуда - MN AC, - (MN)/(AC)=(3)/(5), то есть MN=(3)/(5)AC. Пусть вписанная окружность касается AB,BC,AC в точках F,E,P соответственно, а MN — в точке L. Обозначим длины касательных от вершин: AF=AP=x, BF=BE=y, CE=CP=z. Тогда AB=x+y, BC=y+z, AC=x+z. Кроме того, AM=(2)/(5)AB=(2)/(5)(x+y), CN=(2)/(5)BC=(2)/(5)(y+z). Из точки M к окружности проведены касательные MF (по прямой AB) и ML (по прямой MN), значит MF=ML. Аналогично NE=NL. Поэтому MN=ML+LN=MF+NE. Покажем, что обязательно Fin AM и Ein CN. 1) Предположим, что Fin MB. Тогда MF=AF-AM=x-(2)/(5)(x+y)=(3x-2y)/(5). - Если при этом Ein CN, то NE=CN-CE=(2)/(5)(y+z)-z=(2y-3z)/(5), и MN=MF+NE=(3x-2y+2y-3z)/(5)=(3(x-z))/(5). Но также MN=(3)/(5)AC=(3)/(5)(x+z), откуда x-z=x+z=> z=0, невозможно. - Если же Ein NB, то NE=CE-CN=z-(2)/(5)(y+z)=(3z-2y)/(5), и MN=MF+NE=(3x-2y+3z-2y)/(5)=(3(x+z)-4y)/(5). Сравнивая с MN=(3)/(5)(x+z), получаем y=0, невозможно. Противоречие, значит Fnot in MB, то есть Fin AM. 2) Аналогично, предположение Ein NB приводит к противоречию (симметричный разбор случае в), значит Ein CN. Теперь (так как Fin AM и Ein CN) имеем MF=AM-AF=(2)/(5)(x+y)-x=(2y-3x)/(5), NE=CN-CE=(2)/(5)(y+z)-z=(2y-3z)/(5). Тогда MN=MF+NE=(4y-3(x+z))/(5). Но MN=(3)/(5)AC=(3)/(5)(x+z). Следовательно, (4y-3(x+z))/(5)=(3(x+z))/(5)=> 4y=6(x+z)=> 2y=3(x+z). Тогда AB+BC=(x+y)+(y+z)=x+z+2y=(x+z)+3(x+z)=4(x+z)=4AC. б) По условию ML=(9)/(5), LN=3. Так как MF=ML и NE=NL, получаем MF=(9)/(5), NE=3, MN=ML+LN=(24)/(5). Из подобия MN=(3)/(5)AC, значит AC=(5)/(3)MN=(5)/(3)*(24)/(5)=8. По пункту а) AB+BC=4AC=32. Но AB+BC=(x+y)+(y+z)=AC+2y=8+2y, откуда 8+2y=32=> y=12. Так как Fin AM и Ein CN, то MF=AM-AF=(2)/(5)(x+y)-x=(2)/(5)(x+12)-x=(9)/(5). Умножая на 5: 2(x+12)-5x=9=> -3x+24=9=> x=5. Аналогично из NE=CN-CE: (2)/(5)(y+z)-z=3=>(2)/(5)(12+z)-z=3=> 2(12+z)-5z=15=> -3z+24=15=> z=3. Тогда стороны треугольника: AB=x+y=17, BC=y+z=15, AC=x+z=8. Поскольку 15^2+8^2=17^2, треугольник прямоугольный (гипотенуза AB), его площадь S=(BC* AC)/(2)=(15* 8)/(2)=60. Полупериметр s=(17+15+8)/(2)=20. Радиус вписанной окружности r=(S)/(s)=(60)/(20)=3. Ответ: 3.

\(3\)