Задача №15277

Окружность проходит через вершины $A\text{,}$ $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD\text{,}$ пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $E$ и пересекает продолжение стороны $CD$ за точку $D$ в точке $K\text{.}$

а) Докажите, что $AE=AK\text{.}$
б) Найдите отношение $KE:BD\text{,}$ если $\angle BAD=60^{\circ }\text{.}$

а) Поскольку четырёхугольник $ABED$ вписан в окружность и $AD\parallel BC$ (так как $ABCD$ — параллелограмм), то $AD\parallel BE\text{.}$ Следовательно, $ABED$ — вписанная трапеция. Любая вписанная трапеция является равнобедренной, поэтому её диагонали равны: $AE=BD\text{.}$

Аналогично, четырёхугольник $ABDK$ вписан в окружность и $AB\parallel CD$ (так как $ABCD$ — параллелограмм). Точка $K$ лежит на продолжении $CD\text{,}$ значит, $AB\parallel DK\text{.}$ Таким образом, $ABDK$ — вписанная трапеция, следовательно, она равнобедренная и её диагонали равны: $AK=BD\text{.}$

Из равенств $AE=BD$ и $AK=BD$ получаем, что $AE=AK\text{.}$

б) Пусть $R$ — радиус окружности, проходящей через точки $A,B,D,E,K\text{.}$ По теореме синусов для треугольника $ABD\text{:}$

$$BD=2R\sin \angle BAD=2R\sin 60^{\circ }=R\sqrt{3}.$$

Хорда $KE$ стягивает дугу, на которую опирается вписанный угол $KBE\text{.}$ Найдём его величину:

$$\angle KBE=\angle KBD+\angle DBE.$$

Так как $AD\parallel BE\text{,}$ то $\angle DBE=\angle ADB$ как накрест лежащие.
Поскольку $ABDK$ — равнобедренная трапеция ($AB\parallel DK$), углы между её диагоналями и основаниями равны, то есть $\angle KBD=\angle ABD\text{.}$

Тогда:

$$\angle KBE=\angle ABD+\angle ADB=180^{\circ }-\angle BAD=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }.$$

Длина хорды $KE$ вычисляется по формуле:

$$KE=2R\sin \angle KBE=2R\sin 120^{\circ }=2R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}.$$

Таким образом, $KE=BD\text{,}$ и искомое отношение равно:

$$\frac{KE}{BD}=\frac{R\sqrt{3}}{R\sqrt{3}}=1.$$

Ответ: 1.