Окружность проходит через вершины A , B и D параллелограмма ABCD , пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K . а) Докажите, что AE = AK . б) Найдите отношение KE : BD , если BAD = 60^ .

а) Поскольку четырёхугольник ABED вписан в окружность и AD BC (так как ABCD — параллелограмм), то AD BE . Следовательно, ABED — вписанная трапеция. Любая вписанная трапеция является равнобедренной, поэтому её диагонали равны: AE = BD . Аналогично, четырёхугольник ABDK вписан в окружность и AB CD (так как ABCD — параллелограмм). Точка K лежит на продолжении CD , значит, AB DK . Таким образом, ABDK — вписанная трапеция, следовательно, она равнобедренная и её диагонали равны: AK = BD . Из равенств AE = BD и AK = BD получаем, что AE = AK . б) Пусть R — радиус окружности, проходящей через точки A, B, D, E, K . По теореме синусов для треугольника ABD : BD = 2R sin BAD = 2R sin 60^ = Rsqrt(3). Хорда KE стягивает дугу, на которую опирается вписанный угол KBE . Найдём его величину: KBE = KBD + DBE. Так как AD BE , то DBE = ADB как накрест лежащие. Поскольку ABDK — равнобедренная трапеция ( AB DK ), углы между её диагоналями и основаниями равны, то есть KBD = ABD . Тогда: KBE = ABD + ADB = 180^ - BAD = 180^ - 60^ = 120^. Длина хорды KE вычисляется по формуле: KE = 2R sin KBE = 2R sin 120^ = 2R * (sqrt(3))/(2) = Rsqrt(3). Таким образом, KE = BD , и искомое отношение равно: (KE)/(BD) = (Rsqrt(3))/(Rsqrt(3)) = 1. Ответ: 1.

а) доказано б) 1