Высоты BB_1 и CC_1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H . а) Докажите, что BB_1 C_1 = BAH . б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC , до стороны BC , если B_1 C_1 = 18 и BAC = 30^ .

а) Так как BB_1 AC и Hin BB_1, то  AB_1H=90^. Аналогично, CC_1 AB и Hin CC_1, значит  AC_1H=90^. Следовательно, точки A,B_1,H,C_1 лежат на одной окружности. В этой окружности вписанные углы, опирающиеся на хорду C_1H, равны: C_1AH= C_1B_1H. Так как C_1in AB, то  C_1AH= BAH. Поскольку B,B_1,H коллинеарны,  C_1B_1H= BB_1C_1. Значит,  BB_1C_1= BAH. б) Из пункта а) имеем A,B_1,H,C_1 на одной окружности. Тогда HB_1C_1= HAC_1 (вписанные углы, опирающиеся на хорду HC_1). Но C_1in AB, поэтому  HAC_1= HAB. Так как AH BC, получаем  HAB=90^- ABC, то есть HB_1C_1=90^- ABC. Поскольку B_1Hc BB_1 и BB_1 AC, а AB_1c AC, имеем AB_1 B_1H, значит AB_1C_1=90^- HB_1C_1= ABC. Аналогично доказывается  AC_1B_1= ACB. Следовательно,  AB_1C_1 ABC, и потому (B_1C_1)/(BC)=(AB_1)/(AB). В прямоугольном треугольнике ABB_1 угол при A равен  BAC, поэтому (AB_1)/(AB)=cos BAC. Значит, (B_1C_1)/(BC)=cos BAC=> BC=(B_1C_1)/(cos 30^)=(18)/(sqrt(3)2)=12sqrt(3). Пусть O — центр описанной окружности, R — её радиус. Тогда BC=2Rsin BAC=2Rsin 30^=2R*12=R, то есть R=BC=12sqrt(3). Пусть D — середина BC. Тогда OD BC и искомое расстояние равно OD. В прямоугольном треугольнике OBD: BD=(BC)/(2)=6sqrt(3), OB=R=12sqrt(3), OD=sqrt(OB^2-BD^2)=sqrt((123)^2-(63)^2)=18.

\(18\)