Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠BB1C1=∠BAH.
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если B1C1=18 и ∠BAC=30∘.
а) Так как BB1⊥AC и H∈BB1, то ∠AB1H=90∘. Аналогично, CC1⊥AB и H∈CC1, значит ∠AC1H=90∘. Следовательно, точки A,B1,H,C1 лежат на одной окружности.
В этой окружности вписанные углы, опирающиеся на хорду C1H, равны:
∠C1AH=∠C1B1H.Так как C1∈AB, то ∠C1AH=∠BAH. Поскольку B,B1,H коллинеарны, ∠C1B1H=∠BB1C1. Значит, ∠BB1C1=∠BAH.
б) Из пункта а) имеем A,B1,H,C1 на одной окружности. Тогда
∠HB1C1=∠HAC1(вписанные углы, опирающиеся на хорду HC1). Но C1∈AB, поэтому ∠HAC1=∠HAB. Так как AH⊥BC, получаем ∠HAB=90∘−∠ABC, то есть
∠HB1C1=90∘−∠ABC.Поскольку B1H⊂BB1 и BB1⊥AC, а AB1⊂AC, имеем AB1⊥B1H, значит
∠AB1C1=90∘−∠HB1C1=∠ABC.Аналогично доказывается ∠AC1B1=∠ACB. Следовательно, △AB1C1∼△ABC, и потому
BCB1C1=ABAB1.В прямоугольном треугольнике ABB1 угол при A равен ∠BAC, поэтому
ABAB1=cos∠BAC.Значит,
BCB1C1=cos∠BAC⇒BC=cos30∘B1C1=2318=123.Пусть O — центр описанной окружности, R — её радиус. Тогда
BC=2Rsin∠BAC=2Rsin30∘=2R⋅21=R,то есть R=BC=123.
Пусть D — середина BC. Тогда OD⊥BC и искомое расстояние равно OD. В прямоугольном треугольнике OBD:
BD=2BC=63,OB=R=123, OD=OB2−BD2=(123)2−(63)2=18.