Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD. а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD. б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 15 и BD = 8,5.

Дано: трапеция ABCD с основаниями AD и BC (AD BC). Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника: ABD с основанием AD (значит, AB = BD) и BCD с основанием CD (значит, BC = BD). а) Доказательство, что AC — биссектриса угла BAD. Из равнобедренности треугольников: AB = BD, BC = BD => AB = BC. Следовательно, ABC равнобедренный с основанием AC, поэтому BAC = BCA. 1 Поскольку AD BC, углы CAD и BCA равны как накрест лежащие при секущей AC: CAD = BCA. 2 Из (1) и (2) получаем: BAC = CAD, то есть луч AC делит угол BAD пополам. б) Найдём CD, если AC = 15 и BD = 8,5. Из условия и части (а): AB = BD = BC = 8,5. Рассмотрим окружность с центром в точке B и радиусом 8,5. Так как AB = BD = BC = 8,5, точки A, D и C лежат на этой окружности. Продолжим основание BC за точку B до пересечения с окружностью в точке E. Тогда BE = 8,5 (радиус), а отрезок CE = BC + BE = 8,5 + 8,5 = 17. Поскольку C и E лежат на окружности, а B — центр на отрезке CE, то CE является диаметром окружности. В трапеции ABCD по определению AD BC, а CE — продолжение BC, поэтому AD CE. Точки A, D, C, E лежат на одной окружности, и AD CE, значит, четырёхугольник ADCE — равнобедренная трапеция, вписанная в окружность. Следовательно, его боковые стороны равны: AE = CD. 3 В окружности с диаметром CE угол CAE, опирающийся на диаметр, прямой: CAE = 90^. Рассмотрим прямоугольный CAE ( A = 90^). В нём гипотенуза CE = 17, катет AC = 15. По теореме Пифагора: AE = sqrt(CE^2 - AC^2) = sqrt(17^2 - 15^2) = sqrt(289 - 225) = sqrt(64) = 8. Из (3) получаем, что CD = AE = 8. Ответ: 8

\(8\)