Задача №15274

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC\text{.}$ Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD\text{.}$
а) Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла $BAD\text{.}$

б) Найдите $CD\text{,}$ если известны диагонали трапеции: $AC=15$ и $BD=8,5\text{.}$

Дано: трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD\parallel BC$). Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника: $△ABD$ с основанием $AD$ (значит, $AB=BD$) и $△BCD$ с основанием $CD$ (значит, $BC=BD$).

а) Доказательство, что $AC$ — биссектриса угла $BAD\text{.}$

Из равнобедренности треугольников:

$$AB=BD,BC=BD\Rightarrow AB=BC.$$

Следовательно, $△ABC$ равнобедренный с основанием $AC\text{,}$ поэтому

$$\angle BAC=\angle BCA.\text{\hspace{1em}(1)}$$

Поскольку $AD\parallel BC\text{,}$ углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ равны как накрест лежащие при секущей $AC\text{:}$

$$\angle CAD=\angle BCA.\text{\hspace{1em}(2)}$$

Из (1) и (2) получаем:

$$\angle BAC=\angle CAD,$$

то есть луч $AC$ делит угол $BAD$ пополам.

б) Найдём $CD\text{,}$ если $AC=15$ и $BD=8,5\text{.}$

Из условия и части (а):

$$AB=BD=BC=8,5.$$

Рассмотрим окружность с центром в точке $B$ и радиусом $8,5\text{.}$ Так как $AB=BD=BC=8,5\text{,}$ точки $A\text{,}$ $D$ и $C$ лежат на этой окружности.

Продолжим основание $BC$ за точку $B$ до пересечения с окружностью в точке $E\text{.}$ Тогда $BE=8,5$ (радиус), а отрезок $CE=BC+BE=8,5+8,5=17\text{.}$ Поскольку $C$ и $E$ лежат на окружности, а $B$ — центр на отрезке $CE\text{,}$ то $CE$ является диаметром окружности.

В трапеции $ABCD$ по определению $AD\parallel BC\text{,}$ а $CE$ — продолжение $BC\text{,}$ поэтому $AD\parallel CE\text{.}$ Точки $A,D,C,E$ лежат на одной окружности, и $AD\parallel CE\text{,}$ значит, четырёхугольник $ADCE$ — равнобедренная трапеция, вписанная в окружность. Следовательно, его боковые стороны равны:

$$AE=CD.\text{\hspace{1em}(3)}$$

В окружности с диаметром $CE$ угол $CAE\text{,}$ опирающийся на диаметр, прямой:

$$\angle CAE=90^{\circ }.$$

Рассмотрим прямоугольный $△CAE$ ($\angle A=90^{\circ }$). В нём гипотенуза $CE=17\text{,}$ катет $AC=15\text{.}$ По теореме Пифагора:

$$AE=\sqrt{C{E}^2-A{C}^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8.$$

Из (3) получаем, что $CD=AE=8\text{.}$

Ответ: 8