В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого. б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC = 16 и AB = 10.

а) Пусть основание BC = a , тогда по условию AD = 2a . Проведём высоту CH к основанию AD . В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на большее основание равна полуразности оснований: HD = (AD - BC)/(2) = (2a - a)/(2) = (a)/(2) Тогда длина оставшегося отрезка основания AD : AH = AD - HD = 2a - (a)/(2) = (3a)/(2) Отношение длин отрезков составляет AH : HD = (3a)/(2) : (a)/(2) = 3 : 1 . Таким образом, высота разбивает основание на отрезки, один из которых втрое больше другого. Что и требовалось доказать. б) Дано: BC = 16 , AB = 10 . Трапеция равнобедренная, значит CD = AB = 10 . Из условия AD = 2 * 16 = 32 . Из пункта а) получаем длины отрезков основания: HD = (32 - 16)/(2) = 8 и AH = 32 - 8 = 24 . Из прямоугольного треугольника CHD по теореме Пифагора найдём высоту трапеции: CH = sqrt(CD^2 - HD^2) = sqrt(10^2 - 8^2) = 6 Пусть O — точка пересечения диагоналей. Треугольники BOC и DOA подобны по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных прямых равны). Коэффициент подобия: k = (BC)/(AD) = (16)/(32) = (1)/(2) Высота трапеции складывается из высот этих треугольников, проведённых из точки O . Если h_2 — высота треугольника DOA , то (h_(BOC))/(h_2) = (1)/(2) , откуда h_2 = (2)/(1 + 2) * 6 = 4 . Пусть H' — проекция точки O на AD . В равнобедренной трапеции H' — середина AD , то есть AH' = 16 . Пусть M — середина OD , а M' — её проекция на AD . По теореме Фалеса M' — середина H'D . Длина H'M' = (16)/(2) = 8 . Координата (расстояние от A ) точки M' равна AM' = AH' + H'M' = 16 + 8 = 24 . Заметим, что AH = 24 , значит точки H и M' совпадают. Следовательно, отрезок CM перпендикулярен основанию AD . Длина CM = CH - MH . Так как M — середина OD , её высота над основанием равна половине высоты точки O : MH = (1)/(2) * h_2 = (1)/(2) * 4 = 2 Тогда CM = 6 - 2 = 4 . Ответ: 4.

а) доказано б) 4