Задача №15273

В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC\text{.}$
а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции $ABCD\text{.}$ Найдите расстояние от вершины $C$ до середины отрезка $OD\text{,}$ если $BC=16$ и $AB=10\text{.}$

а) Пусть основание $BC=a\text{,}$ тогда по условию $AD=2a\text{.}$ Проведём высоту $CH$ к основанию $AD\text{.}$ В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на большее основание равна полуразности оснований:

Тогда длина оставшегося отрезка основания $AD\text{:}$

Отношение длин отрезков составляет $AH:HD=\frac{3a}{2}:\frac{a}{2}=3:1\text{.}$ Таким образом, высота разбивает основание на отрезки, один из которых втрое больше другого. Что и требовалось доказать.

б) Дано: $BC=16\text{,}$ $AB=10\text{.}$ Трапеция равнобедренная, значит $CD=AB=10\text{.}$ Из условия $AD=2\cdot 16=32\text{.}$

Из пункта а) получаем длины отрезков основания: $HD=\frac{32-16}{2}=8$ и $AH=32-8=24\text{.}$ Из прямоугольного треугольника $CHD$ по теореме Пифагора найдём высоту трапеции:

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных прямых равны). Коэффициент подобия:

Высота трапеции складывается из высот этих треугольников, проведённых из точки $O\text{.}$ Если $h_2$ — высота треугольника $DOA\text{,}$ то $\frac{h_{BOC}}{h_2}=\frac{1}{2}\text{,}$ откуда $h_2=\frac{2}{1+2}\cdot 6=4\text{.}$

Пусть $H^{\prime }$ — проекция точки $O$ на $AD\text{.}$ В равнобедренной трапеции $H^{\prime }$ — середина $AD\text{,}$ то есть $A{H}^{\prime }=16\text{.}$ Пусть $M$ — середина $OD\text{,}$ а $M^{\prime }$ — её проекция на $AD\text{.}$ По теореме Фалеса $M^{\prime }$ — середина $H^{\prime }D\text{.}$ Длина $H^{\prime }{M}^{\prime }=\frac{16}{2}=8\text{.}$

Координата (расстояние от $A$) точки $M^{\prime }$ равна $A{M}^{\prime }=A{H}^{\prime }+H^{\prime }{M}^{\prime }=16+8=24\text{.}$ Заметим, что $AH=24\text{,}$ значит точки $H$ и $M^{\prime }$ совпадают. Следовательно, отрезок $CM$ перпендикулярен основанию $AD\text{.}$

Длина $CM=CH-MH\text{.}$ Так как $M$ — середина $OD\text{,}$ её высота над основанием равна половине высоты точки $O\text{:}$

Тогда $CM=6-2=4\text{.}$

Ответ: 4.