Решите неравенство (_2(2-x) - _2(x+1))/(_2^2 x^2 + _2 x^4 + 1)>= 0.

Найдём ОДЗ: cases 2-x>0, x+1>0, x^2>0, x!= 1 cases <=> cases x<2, x>-1, x!= 0, x!= 1 cases <=> xin(-1;0)U(0;1)U(1;2). Преобразуем числитель: _2(2-x)-_2(x+1)=_2(2-x)/(x+1). Знаменатель: _2^2 x^2+_2 x^4+1 = (2_2|x|)^2+4_2|x|+1. На ОДЗ x>0 (кроме x=1), поэтому |x|=x, тогда _2|x|=_2 x. Обозначим t=_2 x. Тогда знаменатель: (2t)^2+4t+1=4t^2+4t+1=(2t+1)^2>= 0, равен нулю при t=-(1)/(2), т.е. x=2^(-1/2)=(1)/(sqrt(2))in(0;1)U(1;2). Неравенство (_22-xx+1)/((2t+1)^2)>= 0 равносильно (с учётом, что знаменатель неотрицателен и обращается в ноль только при x=(1)/(sqrt(2))): _2(2-x)/(x+1)>= 0 и (2t+1)^2!= 0. Далее, _2(2-x)/(x+1)>= 0<=>(2-x)/(x+1)>= 1<=>(2-x)/(x+1)-1>= 0<=>(2-x-x-1)/(x+1)>= 0<=>(1-2x)/(x+1)>= 0. Метод интервалов: нули числителя x=0.5, знаменателя x=-1. Получаем xin(-1;0.5]. Исключаем точки, где знаменатель исходной дроби равен нулю: x=(1)/(sqrt(2))~ 0.707not in(-1;0.5], поэтому не исключаем. Учитываем ОДЗ: xin(-1;0)U(0;0.5]U(1;2). Но из решения x<= 0.5, поэтому интервал (1;2) не входит. Также x=0.5 входит, x=0 не входит по ОДЗ. Ответ: (-1;0)U(0;0.5].

\((-1;0)\cup(0;0.5]\)