Задача №15272

Решите неравенство

$$\frac{{\log }_2(2-x)-{\log }_2(x+1)}{{\log }_2^2{x}^2+{\log }_2{x}^4+1}\ge 0.$$

Найдём ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}2-x>0,\\ x+1>0,\\ x^2>0,x\ne 1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x<2,\\ x>-1,\\ x\ne 0,x\ne 1\end{array}\iff x\in (-1;0)\cup (0;1)\cup (1;2).$$

Преобразуем числитель:

$${\log }_2(2-x)-{\log }_2(x+1)={\log }_2\frac{2-x}{x+1}.$$

Знаменатель:

$${\log }_2^2{x}^2+{\log }_2{x}^4+1=(2{\log }_2|x|{)}^2+4{\log }_2|x|+1.$$

На ОДЗ $x>0$ (кроме $x=1$), поэтому $|x|=x\text{,}$ тогда ${\log }_2|x|={\log }_{2}x\text{.}$

Обозначим $t={\log }_{2}x\text{.}$ Тогда знаменатель:

$$(2t{)}^2+4t+1=4t^2+4t+1=(2t+1{)}^2\ge 0,$$

равен нулю при $t=-\frac{1}{2}\text{,}$ т.е. $x=2^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\in (0;1)\cup (1;2)\text{.}$

Неравенство

$$\frac{{\log }_2\frac{2-x}{x+1}}{(2t+1{)}^2}\ge 0$$

равносильно (с учётом, что знаменатель неотрицателен и обращается в ноль только при $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$):

$${\log }_2\frac{2-x}{x+1}\ge 0\text{и}(2t+1{)}^2\ne 0.$$

Далее,

$${\log }_2\frac{2-x}{x+1}\ge 0\iff \frac{2-x}{x+1}\ge 1\iff \frac{2-x}{x+1}-1\ge 0\iff \frac{2-x-x-1}{x+1}\ge 0\iff \frac{1-2x}{x+1}\ge 0.$$

Метод интервалов: нули числителя $x=0.5\text{,}$ знаменателя $x=-1\text{.}$

Получаем $x\in (-1;0.5]\text{.}$

Исключаем точки, где знаменатель исходной дроби равен нулю: $x=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707\notin (-1;0.5]\text{,}$ поэтому не исключаем.

Учитываем ОДЗ: $x\in (-1;0)\cup (0;0.5]\cup (1;2)\text{.}$ Но из решения $x\le 0.5\text{,}$ поэтому интервал $(1;2)$ не входит.

Также $x=0.5$ входит, $x=0$ не входит по ОДЗ.

Ответ: $(-1;0)\cup (0;0.5]\text{.}$