Окружность проходит через вершины A , B и D параллелограмма ABCD , пересекает сторону BC в точках B и M и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N . а) Докажите, что AM = AN . б) Найдите отношение CD : DN , если AB : BC = 1 : 2 , а cos BAD = (2)/(3) .

а) Поскольку окружность проходит через вершины A , B и D , она является описанной окружностью треугольника ABD . Точки M и N также лежат на этой окружности по условию. В параллелограмме ABCD противоположные углы равны: ABC = ADC . Тогда: 1. ABM = ABC (так как M лежит на стороне BC ). 2. ADN = 180^ - ADC = 180^ - ABC (так как N лежит на продолжении стороны CD за точку D ). Следовательно, sin ABM = sin ADN = sin ABC . По свойству вписанных углов: AMB = ADB (опираются на дугу AB) AND = ABD (опираются на дугу AD) Применим теорему синусов для треугольников ABM и ADN : AM = (AB * sin ABM)/(sin AMB) = (AB * sin ABC)/(sin ADB) AN = (AD * sin ADN)/(sin AND) = (AD * sin ABC)/(sin ABD) Из теоремы синусов для ABD имеем: (AB)/(sin ADB) = (AD)/(sin ABD) Следовательно, AM = AN , что и требовалось доказать. б) Пусть AB = k , тогда BC = 2k . В параллелограмме CD = AB = k и AD = BC = 2k . Рассмотрим точку C . По теореме о секущих (степень точки относительно окружности): CB * CM = CD * CN => 2k * CM = k * CN => CN = 2CM Пусть CM = x , тогда CN = 2x . Выразим стороны BM и DN : BM = BC - CM = 2k - x DN = CN - CD = 2x - k Применим теорему косинусов для ABM и ADN , учитывая, что AM^2 = AN^2 : AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 * AB * BM * cos ABM AN^2 = AD^2 + DN^2 - 2 * AD * DN * cos ADN Заметим, что ABM = 180^ - BAD , поэтому cos ABM = -(2)/(3) . А ADN = BAD , поэтому cos ADN = (2)/(3) . k^2 + (2k - x)^2 - 2k(2k - x) ( -(2)/(3) ) = (2k)^2 + (2x - k)^2 - 2(2k)(2x - k) (2)/(3) Раскроем скобки и упростим выражение: k^2 + 4k^2 - 4kx + x^2 + (8k^2)/(3) - (4kx)/(3) = 4k^2 + 4x^2 - 4kx + k^2 - (16kx)/(3) + (8k^2)/(3) x^2 - (4kx)/(3) = 4x^2 - (16kx)/(3) => 3x^2 - 4kx = 0 Так как x != 0 , получаем x = (4k)/(3) . Тогда DN = 2x - k = 2 * (4k)/(3) - k = (5k)/(3) . Искомое отношение: CD : DN = k : (5k)/(3) = 3 : 5 Ответ: 3 : 5

а) \(AM = AN\) б) 3 : 5