Задача №15271

Окружность проходит через вершины $A\text{,}$ $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD\text{,}$ пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $M$ и пересекает продолжение стороны $CD$ за точку $D$ в точке $N\text{.}$

а) Докажите, что $AM=AN\text{.}$

б) Найдите отношение $CD:DN\text{,}$ если $AB:BC=1:2\text{,}$ а $\cos \angle BAD=\frac{2}{3}\text{.}$

а) Поскольку окружность проходит через вершины $A\text{,}$ $B$ и $D\text{,}$ она является описанной окружностью треугольника $ABD\text{.}$ Точки $M$ и $N$ также лежат на этой окружности по условию.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные углы равны: $\angle ABC=\angle ADC\text{.}$ Тогда:

1. $\angle ABM=\angle ABC$ (так как $M$ лежит на стороне $BC$).

2. $\angle ADN=180^{\circ }-\angle ADC=180^{\circ }-\angle ABC$ (так как $N$ лежит на продолжении стороны $CD$ за точку $D$).

Следовательно, $\sin \angle ABM=\sin \angle ADN=\sin \angle ABC\text{.}$

По свойству вписанных углов:

$$\angle AMB=\angle ADB\text{ (опираются на дугу }AB)$$ $$\angle AND=\angle ABD\text{ (опираются на дугу }AD)$$

Применим теорему синусов для треугольников $ABM$ и $ADN\text{:}$

$$AM=\frac{AB\cdot \sin \angle ABM}{\sin \angle AMB}=\frac{AB\cdot \sin \angle ABC}{\sin \angle ADB}$$ $$AN=\frac{AD\cdot \sin \angle ADN}{\sin \angle AND}=\frac{AD\cdot \sin \angle ABC}{\sin \angle ABD}$$

Из теоремы синусов для $△ABD$ имеем:

$$\frac{AB}{\sin \angle ADB}=\frac{AD}{\sin \angle ABD}$$

Следовательно, $AM=AN\text{,}$ что и требовалось доказать.

б) Пусть $AB=k\text{,}$ тогда $BC=2k\text{.}$ В параллелограмме $CD=AB=k$ и $AD=BC=2k\text{.}$

Рассмотрим точку $C\text{.}$ По теореме о секущих (степень точки относительно окружности):

$$CB\cdot CM=CD\cdot CN\Rightarrow 2k\cdot CM=k\cdot CN\Rightarrow CN=2CM$$

Пусть $CM=x\text{,}$ тогда $CN=2x\text{.}$ Выразим стороны $BM$ и $DN\text{:}$

$$BM=BC-CM=2k-x$$ $$DN=CN-CD=2x-k$$

Применим теорему косинусов для $△ABM$ и $△ADN\text{,}$ учитывая, что $A{M}^2=A{N}^2\text{:}$

$$A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2-2\cdot AB\cdot BM\cdot \cos \angle ABM$$ $$A{N}^2=A{D}^2+D{N}^2-2\cdot AD\cdot DN\cdot \cos \angle ADN$$

Заметим, что $\angle ABM=180^{\circ }-\angle BAD\text{,}$ поэтому $\cos \angle ABM=-\frac{2}{3}\text{.}$ А $\angle ADN=\angle BAD\text{,}$ поэтому $\cos \angle ADN=\frac{2}{3}\text{.}$

$$k^2+(2k-x{)}^2-2k(2k-x)\left(-\frac{2}{3}\right)=(2k{)}^2+(2x-k{)}^2-2(2k)(2x-k)\frac{2}{3}$$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$k^2+4k^2-4kx+x^2+\frac{8k^2}{3}-\frac{4kx}{3}=4k^2+4x^2-4kx+k^2-\frac{16kx}{3}+\frac{8k^2}{3}$$ $$x^2-\frac{4kx}{3}=4x^2-\frac{16kx}{3}\Rightarrow 3x^2-4kx=0$$

Так как $x\ne 0\text{,}$ получаем $x=\frac{4k}{3}\text{.}$

Тогда $DN=2x-k=2\cdot \frac{4k}{3}-k=\frac{5k}{3}\text{.}$

Искомое отношение:

$$CD:DN=k:\frac{5k}{3}=3:5$$

Ответ: 3 : 5