Задача №15270

В треугольнике $ABC$ точки $A_1\text{,}$ $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC\text{,}$ $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC=60^{\circ }\text{,}$ $\angle BCA=45^{\circ }\text{.}$

а) Докажите, что точки $A_1\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $A_{1}H\text{,}$ если $BC=2\sqrt{3}\text{.}$

а) Докажем, что точки $A_1\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

В треугольнике $ABC$ отрезок $C_1{B}_1$ — средняя линия, поэтому $C_1{B}_1\parallel BC\text{.}$ Точки $A_1$ и $H$ лежат на прямой $BC\text{,}$ следовательно, $C_1{B}_1\parallel A_{1}H\text{.}$ Таким образом, четырёхугольник $C_1{B}_1{A}_{1}H$ — трапеция.

В прямоугольном треугольнике $ABH$ (так как $AH$ — высота) медиана $C_{1}H\text{,}$ проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы:

$$C_{1}H=\frac{1}{2}AB.$$

Отрезок $B_1{A}_1$ также является средней линией треугольника $ABC$ (соединяет середины сторон $AC$ и $BC$), поэтому

$$B_1{A}_1=\frac{1}{2}AB.$$

Значит, $C_{1}H=B_1{A}_1\text{,}$ и трапеция $C_1{B}_1{A}_{1}H$ — равнобедренная. В равнобедренной трапеции можно описать окружность, поэтому точки $A_1\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Найдём длину отрезка $A_{1}H\text{,}$ если $BC=2\sqrt{3}\text{.}$

Углы треугольника $ABC\text{:}$ $\angle BAC=60^{\circ }\text{,}$ $\angle BCA=45^{\circ }\text{,}$ тогда $\angle ABC=180^{\circ }-60^{\circ }-45^{\circ }=75^{\circ }\text{.}$

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin 60^{\circ }}=2R,$$

где $R$ — радиус описанной окружности. Подставляя $BC=2\sqrt{3}$ и $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}$ получаем:

$$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R\Rightarrow 4=2R\Rightarrow R=2.$$

Теперь найдём сторону $AB\text{:}$

$$\frac{AB}{\sin 45^{\circ }}=2R=4\Rightarrow AB=4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}.$$

Площадь треугольника $ABC$ можно вычислить двумя способами. С одной стороны:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin 60^{\circ }.$$

Сначала найдём $AC\text{:}$

$$\frac{AC}{\sin 75^{\circ }}=4\Rightarrow AC=4\sin 75^{\circ }.$$

Значение:

$$\sin 75^{\circ }=\sin (45^{\circ }+30^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4}.$$

Тогда

$$AC=4\cdot \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4}=\sqrt{2}(\sqrt{3}+1).$$

Теперь площадь:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}(\sqrt{3}+1)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2(\sqrt{3}+1)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=(\sqrt{3}+1)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=(\sqrt{3}+1)\sqrt{3}=3+\sqrt{3}.$$

С другой стороны, $S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AH\text{,}$ откуда:

$$\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot AH=\sqrt{3}\cdot AH=3+\sqrt{3}\Rightarrow AH=\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}+1.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ с углом $C=45^{\circ }\text{:}$ он равнобедренный, поэтому

$$HC=AH=\sqrt{3}+1.$$

Тогда

$$BH=BC-HC=2\sqrt{3}-(\sqrt{3}+1)=\sqrt{3}-1.$$

Точка $A_1$ — середина $BC\text{,}$ значит,

$$B{A}_1=\frac{BC}{2}=\sqrt{3}.$$

Поскольку $BH<B{A}_1\text{,}$ точка $H$ лежит между $B$ и $A_1\text{.}$ Следовательно,

$$A_{1}H=B{A}_1-BH=\sqrt{3}-(\sqrt{3}-1)=1.$$

Ответ: $1\text{.}$