Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды. а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке. б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L так, что AK = 15, KL = 6, LB = 5.

а) По условию окружность высекает на всех сторонах трапеции равные хорды. В окружности равные хорды равноудалены от центра, поэтому расстояния от точки O до прямых, содержащих стороны AB, BC, CD и AD, одинаковы. Обозначим это расстояние d. Точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Следовательно, O принадлежит биссектрисам всех углов трапеции: A, B, C, D. Таким образом, все четыре биссектрисы пересекаются в одной точке O, что и требовалось доказать. б) Пусть окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L с данными длинами: AK = 15, KL = 6, LB = 5. Тогда AB = 15 + 6 + 5 = 26. Так как перпендикуляр из центра окружности к хорде проходит через её середину, то основание перпендикуляра из O на AB — точка M — является серединой отрезка KL. Значит, OM AB и KM = ML = (6)/(2) = 3. Отсюда AM = AK + KM = 15 + 3 = 18, MB = ML + LB = 3 + 5 = 8. Обозначим OM = h. Из пункта (а) точка O лежит на биссектрисах углов A и B. В трапеции сумма углов при одной боковой стороне равна 180^: A + B = 180^. Пусть A = 2alpha, B = 2beta, тогда alpha + beta = 90^. Рассмотрим треугольник AOB. В нём OAB = alpha, OBA = beta, поэтому AOB = 180^ - (alpha + beta) = 90^. Таким образом, треугольник AOB прямоугольный с прямым углом при вершине O. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, удовлетворяет соотношению: h^2 = OM^2 = AM* MB = 18* 8 = 144, откуда h = 12 (положительное значени е). Чтобы найти высоту трапеции, опустим из точки O перпендикуляры на основания AD и BC. Пусть U и W — основания этих перпендикуляров. Поскольку AD BC, точки U, O, W лежат на одной прямой, перпендикулярной обоим основаниям. Расстояние между основаниями (высота трапеции) равно длине отрезка UW. Из равенства расстояний от O до всех сторон имеем OU = OW = h. Следовательно, высота трапеции равна H = OU + OW = 2h = 2* 12 = 24. Ответ: а) Доказано. б) 24

\(24\)