Задача №15269

Окружность с центром в точке $O$ высекает на всех сторонах трапеции $ABCD$ равные хорды.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону $AB$ в точках $K$ и $L$ так, что $AK=15\text{,}$ $KL=6\text{,}$ $LB=5\text{.}$

а) По условию окружность высекает на всех сторонах трапеции равные хорды. В окружности равные хорды равноудалены от центра, поэтому расстояния от точки $O$ до прямых, содержащих стороны $AB\text{,}$ $BC\text{,}$ $CD$ и $AD\text{,}$ одинаковы. Обозначим это расстояние $d\text{.}$ Точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Следовательно, $O$ принадлежит биссектрисам всех углов трапеции: $\angle A\text{,}$ $\angle B\text{,}$ $\angle C\text{,}$ $\angle D\text{.}$ Таким образом, все четыре биссектрисы пересекаются в одной точке $O\text{,}$ что и требовалось доказать.

б) Пусть окружность пересекает боковую сторону $AB$ в точках $K$ и $L$ с данными длинами: $AK=15\text{,}$ $KL=6\text{,}$ $LB=5\text{.}$ Тогда $AB=15+6+5=26\text{.}$

Так как перпендикуляр из центра окружности к хорде проходит через её середину, то основание перпендикуляра из $O$ на $AB$ — точка $M$ — является серединой отрезка $KL\text{.}$ Значит, $OM\perp AB$ и $KM=ML=\frac{6}{2}=3\text{.}$ Отсюда

$$AM=AK+KM=15+3=18,MB=ML+LB=3+5=8.$$

Обозначим $OM=h\text{.}$ Из пункта (а) точка $O$ лежит на биссектрисах углов $A$ и $B\text{.}$ В трапеции сумма углов при одной боковой стороне равна $180^{\circ }\text{:}$ $\angle A+\angle B=180^{\circ }\text{.}$ Пусть $\angle A=2\alpha \text{,}$ $\angle B=2\beta \text{,}$ тогда $\alpha +\beta =90^{\circ }\text{.}$

Рассмотрим треугольник $AOB\text{.}$ В нём $\angle OAB=\alpha \text{,}$ $\angle OBA=\beta \text{,}$ поэтому

$$\angle AOB=180^{\circ }-(\alpha +\beta )=90^{\circ }.$$

Таким образом, треугольник $AOB$ прямоугольный с прямым углом при вершине $O\text{.}$

В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, удовлетворяет соотношению:

$$h^2=O{M}^2=AM\cdot MB=18\cdot 8=144,$$

откуда $h=12$ (положительное значени

е).

Чтобы найти высоту трапеции, опустим из точки $O$ перпендикуляры на основания $AD$ и $BC\text{.}$ Пусть $U$ и $W$ — основания этих перпендикуляров. Поскольку $AD\parallel BC\text{,}$ точки $U\text{,}$ $O\text{,}$ $W$ лежат на одной прямой, перпендикулярной обоим основаниям. Расстояние между основаниями (высота трапеции) равно длине отрезка $UW\text{.}$ Из равенства расстояний от $O$ до всех сторон имеем $OU=OW=h\text{.}$ Следовательно, высота трапеции равна

$$H=OU+OW=2h=2\cdot 12=24.$$

Ответ:
а) Доказано.

б) 24