Задача №15268

Решите неравенство

$$7{\log }_{12}(x^2-13x+42)⩽8+{\log }_{12}\frac{(x-7{)}^7}{x-6}.$$

Найдём ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-13x+42>0,\\ x-6>0,\\ \frac{(x-7{)}^7}{x-6}>0.\end{array}$$

Решим первое неравенство: $x^2-13x+42>0\iff (x-6)(x-7)>0\iff x<6\text{ или }x>7.$

Второе: $x-6>0\iff x>6.$

Третье: $\frac{(x-7{)}^7}{x-6}>0.$ Так как степень нечётная, $(x-7{)}^7$ имеет тот же знак, что и $x-7\text{.}$ Получаем $\frac{x-7}{x-6}>0\iff x<6\text{ или }x>7.$

Пересекая все условия, получаем $x>7.$

Преобразуем неравенство:

$$7{\log }_{12}(x^2-13x+42)⩽8+{\log }_{12}\frac{(x-7{)}^7}{x-6}.$$

Заметим, что $x^2-13x+42=(x-6)(x-7)\text{.}$ Тогда

$$7{\log }_{12}((x-6)(x-7))⩽8+{\log }_{12}\frac{(x-7{)}^7}{x-6}.$$

Перенесём всё влево:

$$7{\log }_{12}((x-6)(x-7))-{\log }_{12}\frac{(x-7{)}^7}{x-6}-8⩽0.$$

Используем свойства логарифмов:

$${\log }_{12}\frac{((x-6)(x-7){)}^7}{\frac{(x-7{)}^7}{x-6}}-8⩽0\iff {\log }_{12}\frac{(x-6{)}^7(x-7{)}^7\cdot (x-6)}{(x-7{)}^7}-8⩽0.$$

Упрощаем:

$${\log }_{12}((x-6{)}^8)-8⩽0\iff 8{\log }_{12}(x-6)-8⩽0\iff 8({\log }_{12}(x-6)-1)⩽0.$$

Делим на 8:

$${\log }_{12}(x-6)⩽1.$$

Так как основание 12 > 1, получаем:

$$x-6⩽12\iff x⩽18.$$

Учитывая ОДЗ $x>7\text{,}$ получаем $7<x⩽18.$

Ответ: $7<x⩽18.$