В треугольнике ABC угол ACB равен 30^, отрезки AH и AM — высота и медиана соответственно, причём точка H лежит на отрезке BM. Отрезок MQ — высота треугольника AMC, а прямые AH и MQ пересекаются в точке F. Известно, что луч AM — биссектриса угла CAH. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника CMF, если AB=8.
а) Докажем, что угол BAC прямой. Поскольку AM — биссектриса угла CAH, то CAM = MAH = alpha. Точка Q лежит на AC, поэтому MAQ = MAC = alpha. В треугольниках AHM и AQM: общая гипотенуза AM; MAH = MAQ = alpha; AHM = AQM = 90^ (так как AH BC, а MQ AC). Следовательно, AHM = AQM по гипотенузе и острому углу. Отсюда HM = MQ и AH = AQ. 1 В прямоугольном MQC угол MCQ = ACB = 30^, поэтому катет MQ, лежащий против угла 30^, равен половине гипотенузы MC: MQ = (MC)/(2). 2 Из (1) и (2) получаем HM = (MC)/(2). Так как M — середина BC, то BM = MC. Точка H лежит на BM, значит, BH = BM - HM = MC - (MC)/(2) = (MC)/(2) = HM. Таким образом, H — середина BM. Рассмотрим AHC. В нём AHC = 90^ (высота AH) и ACH = 30^, поэтому CAH = 90^ - 30^ = 60^. По условию AM — биссектриса CAH, следовательно, CAM = (1)/(2) CAH = 30^. В AMC: ACM = 30^, CAM = 30^ => AM = MC. 3 Из равенства (3) и того, что M — середина BC, имеем AM = MC = BM = (BC)/(2). Медиана AM равна половине стороны BC, к которой она проведена. Это возможно лишь в случае, когда треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при вершине A. Следовательно, BAC = 90^. Пункт а) доказан. б) Найдём площадь треугольника CMF при AB = 8. В ABC: BAC = 90^, ACB = 30^, AB = 8. Катет AB лежит против угла 30^, поэтому BC = 2* AB = 16. Тогда AC = BC*cos 30^ = 16*(sqrt(3))/(2) = 8sqrt(3). M — середина BC, значит, BM = MC = (BC)/(2) = 8. Высота AH в прямоугольном ABC: AH = (AB* AC)/(BC) = (8* 8sqrt(3))/(16) = 4sqrt(3). Из ABH по теореме Пифагора: BH = sqrt(AB^2 - AH^2) = sqrt(64 - 48) = sqrt(16) = 4. Так как H лежит на BM и BM = 8, то HM = BM - BH = 8 - 4 = 4. В AMC проведена высота MQ. В прямоугольном MQC ( MQC = 90^): MCQ = 30^, MC = 8 => MQ = (MC)/(2) = 4. Точка F — пересечение AH и MQ. Рассмотрим FHM и CQM: FHM = CQM = 90^; HM = MQ = 4; HMF = QMC (вертикальные углы). Значит, FHM = CQM по катету и острому углу. Отсюда FM = MC = 8, FH = QC. Из MQC: QC = sqrt(MC^2 - MQ^2) = sqrt(64 - 16) = sqrt(48) = 4sqrt(3). Найдём угол CMF. Точки C, M, H лежат на одной прямой (поскольку H принадлежит BC), причём M между C и H (так как CM = 8, MH = 4). Поэтому углы FMH и CMF — смежные. В FHM: tan FMH = (FH)/(HM) = (4sqrt(3))/(4) = sqrt(3) => FMH = 60^. Следовательно, CMF = 180^ - FMH = 120^. Площадь треугольника CMF: S_(CMF) = (1)/(2)* CM* FM*sin CMF = (1)/(2)* 8* 8*sin 120^ = 32*(sqrt(3))/(2) = 16sqrt(3).
\(16\sqrt{3}\)