Задача №15264

Решите неравенство

${\log }_3^2(x^2-16)-5{\log }_3(x^2-16)+6⩾0\text{.}$

ОДЗ: $x^2-16>0\Rightarrow x\in (-\infty ;-4)\cup (4;+\infty )\text{.}$ Сделаем замену: $t={\log }_3(x^2-16)\text{.}$ Тогда неравенство принимает вид:

$$t^2-5t+6⩾0\iff (t-2)(t-3)⩾0\Rightarrow t⩽2\text{ или }t⩾3.$$

Возвращаемся к исходной переменной.

1. $t⩽2\text{:}$ ${\log }_3(x^2-16)⩽2\text{.}$ Так как основание $3>1\text{,}$ получаем: $0<x^2-16⩽3^2=9\text{.}$ Учитывая ОДЗ ($x^2-16>0$), имеем: $16<x^2⩽25\Rightarrow x\in [-5;-4)\cup (4;5]\text{.}$

2. $t⩾3\text{:}$ ${\log }_3(x^2-16)⩾3\Rightarrow x^2-16⩾27\Rightarrow x^2⩾43\Rightarrow x⩽-\sqrt{43}$ или $x⩾\sqrt{43}\text{.}$

Объединяя решения, получаем ответ.

Ответ: $x\in (-\infty ;-\sqrt{43}]\cup [-5;-4)\cup (4;5]\cup [\sqrt{43};+\infty )$