Задача №15263

Периметр треугольника $ABC$ равен 36. Точки $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $EF$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC\text{.}$
а) Докажите, что $AC=9\text{.}$

б) Найдите площадь треугольника $ABC\text{,}$ если $\angle ACB=90^{\circ }\text{.}$

а) Докажем, что $AC=9\text{.}$

Рассмотрим треугольник $ABC$ с периметром $P=36\text{.}$ Пусть $BH$ — высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC\text{.}$ Поскольку $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $BC\text{,}$ отрезок $EF$ является средней линией и параллелен $AC\text{.}$

Пусть $BH$ пересекает $EF$ в точке $G\text{.}$ Тогда $G$ — середина $BH\text{,}$ а расстояние между параллельными прямыми $EF$ и $AC$ равно

$$GH=\frac{BH}{2}.$$

Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $AC$ (по определению) и, по условию, касается отрезка $EF\text{.}$ Так как $AC\parallel EF\text{,}$ окружность касается обеих этих параллельных прямых, следовательно, расстояние между ними равно диаметру окружности:

$$GH=2r,$$

где $r$ — радиус вписанной окружности.

Из равенства

$$\frac{BH}{2}=2r$$

получаем $BH=4r\text{.}$

Выразим площадь треугольника $ABC$ двумя способами:

• через полупериметр и радиус вписанной окружности:

$$S=p\cdot r=\frac{36}{2}\cdot r=18r;$$

• через основание и высоту:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot 4r=2\cdot AC\cdot r.$$

Приравнивая, находим:

$$18r=2\cdot AC\cdot r\Rightarrow AC=9.$$

б) Найдём площадь треугольника $ABC\text{,}$ если $\angle ACB=90^{\circ }\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ известна сторона $AC=9\text{.}$ Обозначим $BC=a\text{,}$ $AB=c\text{.}$

Периметр треугольника:

$$a+9+c=36\Rightarrow a+c=27\Rightarrow c=27-a.$$

По теореме Пифагора:

$$c^2=a^2+9^2.$$

Подставляем выражение для $c\text{:}$

$$(27-a{)}^2=a^2+81.$$

Раскрываем скобки:

$$729-54a+a^2=a^2+81.$$

Упрощаем:

$$729-54a=81\Rightarrow 54a=648\Rightarrow a=12.$$

Площадь прямоугольного треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 9=54.$$

Ответ:

а) $AC=9$

б) $54$