Периметр треугольника ABC равен 36. Точки E и F — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC. а) Докажите, что AC = 9. б) Найдите площадь треугольника ABC, если ACB = 90^.

а) Докажем, что AC = 9. Рассмотрим треугольник ABC с периметром P = 36. Пусть BH — высота, опущенная из вершины B на сторону AC. Поскольку E и F — середины сторон AB и BC, отрезок EF является средней линией и параллелен AC. Пусть BH пересекает EF в точке G. Тогда G — середина BH, а расстояние между параллельными прямыми EF и AC равно GH = (BH)/(2). Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC (по определению) и, по условию, касается отрезка EF. Так как AC EF, окружность касается обеих этих параллельных прямых, следовательно, расстояние между ними равно диаметру окружности: GH = 2r, где r — радиус вписанной окружности. Из равенства (BH)/(2) = 2r получаем BH = 4r. Выразим площадь треугольника ABC двумя способами: - через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = p* r = (36)/(2)* r = 18r; - через основание и высоту: S = (1)/(2)* AC* BH = (1)/(2)* AC* 4r = 2* AC* r. Приравнивая, находим: 18r = 2* AC* r => AC = 9. б) Найдём площадь треугольника ABC, если ACB = 90^. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известна сторона AC = 9. Обозначим BC = a, AB = c. Периметр треугольника: a + 9 + c = 36 => a + c = 27 => c = 27 - a. По теореме Пифагора: c^2 = a^2 + 9^2. Подставляем выражение для c: (27 - a)^2 = a^2 + 81. Раскрываем скобки: 729 - 54a + a^2 = a^2 + 81. Упрощаем: 729 - 54a = 81 => 54a = 648 => a = 12. Площадь прямоугольного треугольника: S = (1)/(2)* BC* AC = (1)/(2)* 12* 9 = 54. Ответ: а) AC = 9 б) 54

а) доказано б) 54