Задача №15262

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
• 15-го числа 10-го месяца долг составит 300 тысяч рублей;
• к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1388 тысяч рублей?

Пусть сумма кредита $S$ тыс. руб., а ежемесячное уменьшение долга с 1-го по 10-й месяц равно $d$ тыс. руб. Тогда:

$$S-10d=300.$$

Долг на начало месяца $k$ (после начисления 1%) равен $1,01D_{k-1}\text{,}$ выплата за месяц $k$ равна $1,01D_{k-1}-D_k\text{,}$ где $D_k$ — долг после выплаты. Для $k=1,\dots ,10\text{:}$ $D_k=D_{k-1}-d\text{,}$ а $D_{10}=300\text{,}$ $D_{11}=0\text{.}$ Общая сумма выплат:

$$P=1,01S+0,01\sum _{i=1}^{10}{D}_i.$$

Выразим сумму остатков:

$$\sum _{i=1}^{10}{D}_i=\sum _{i=1}^{10}(S-id)=10S-55d.$$

Тогда:

$$P=1,01S+0,01(10S-55d)=1,11S-0,55d.$$

Из условия $S-10d=300$ находим $d=\frac{S-300}{10}\text{.}$ Подставляем:

$$P=1,11S-0,55\cdot \frac{S-300}{10}=1,055S+16,5.$$

По условию $P=1388\text{:}$

$$1,055S+16,5=1388,$$ $$1,055S=1371,5,$$ $$S=\frac{1371,5}{1,055}=1300.$$

Таким образом, сумма кредита составляет 1300 тыс. руб.

Ответ: 1300 тыс. руб.