В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC. а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого. б) Найдите...

Задача №15261: Планиметрия

а) Пусть в равнобедренной трапеции $A B C D$ ( $B C ∥ A D,$ $A B = C D$ ) основания $B C = a,$ $A D = 3 a .$ Опустим высоту $C H$ на основание $A D,$ $H \in A D .$ Также опустим высоту $B F$ на $A D,$ $F \in A D .$ Тогда $B F C H$ — прямоугольник, поэтому $F H = B C = a .$

В равнобедренной трапеции $A F = H D .$ Пусть $A F = H D = x .$ Тогда основание можно представить в виде:
$A D = A F + F H + H D = x + a + x = 2 x + a .$

По условию $A D = 3 a,$ значит:
$2 x + a = 3 a \Rightarrow 2 x = 2 a \Rightarrow x = a .$

Таким образом, $A F = H D = a .$ Теперь вычислим длину отрезка $A H :$
$A H = A F + F H = a + a = 2 a .$

Следовательно, $A H = 2 H D,$ то есть один отрезок ( $A H$ ) вдвое больше другого ( $H D$ ). Что и требовалось доказать.

б) Дано: $A D = 15,$ $A C = 261 .$ Из пункта а: так как $A D$ в три раза больше $B C,$ то $B C = \frac{A D}{3} = 5 .$ Также из доказательства следует, что $A H = 2 H D$ и $A D = A H + H D = 15 .$

Пусть $H D = x,$ тогда $A H = 2 x,$ и $3 x = 15 \Rightarrow x = 5 .$ Значит, $H D = 5,$ $A H = 10 .$

Высота трапеции $h = C H .$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $A H C :$ по теореме Пифагора

A C^{2} = A H^{2} + C H^{2} \Rightarrow (261)^{2} = 1 0^{2} + h^{2} \Rightarrow 4 \cdot 61 = 100 + h^{2} \Rightarrow 244 = 100 + h^{2} \Rightarrow h^{2} = 144 \Rightarrow h = 12.

Найдём боковую сторону $A B .$ В прямоугольном треугольнике $A B F,$ где $B F = h = 12$ и $A F = 5 :$

A B = A F^{2} + B F^{2} = 5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 13.

Так как трапеция равнобедренная, $C D = A B = 13 .$ В равнобедренной трапеции диагонали равны, поэтому $B D = A C = 261 .$

Пусть $M$ — середина диагонали $B D .$ Тогда $C M$ — медиана треугольника $B C D .$ В треугольнике $B C D$ известны стороны: $B C = 5,$ $C D = 13,$ $B D = 261 .$ По формуле медианы:

C M = \frac{1}{2} 2 \cdot B C^{2} + 2 \cdot C D^{2} - B D^{2} = \frac{1}{2} 2 \cdot 25 + 2 \cdot 169 - 244 = \frac{1}{2} 50 + 338 - 244 = \frac{1}{2} 144 = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6.

Таким образом, расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $B D$ равно 6.

Ответ: 6.

По условию $A D = 3 a,$ значит:
$2 x + a = 3 a \Rightarrow 2 x = 2 a \Rightarrow x = a .$

Таким образом, $A F = H D = a .$ Теперь вычислим длину отрезка $A H :$
$A H = A F + F H = a + a = 2 a .$

Следовательно, $A H = 2 H D,$ то есть один отрезок ( $A H$ ) вдвое больше другого ( $H D$ ). Что и требовалось доказать.

Пусть $H D = x,$ тогда $A H = 2 x,$ и $3 x = 15 \Rightarrow x = 5 .$ Значит, $H D = 5,$ $A H = 10 .$

Высота трапеции $h = C H .$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $A H C :$ по теореме Пифагора

A C^{2} = A H^{2} + C H^{2} \Rightarrow (261)^{2} = 1 0^{2} + h^{2} \Rightarrow 4 \cdot 61 = 100 + h^{2} \Rightarrow 244 = 100 + h^{2} \Rightarrow h^{2} = 144 \Rightarrow h = 12.

Найдём боковую сторону $A B .$ В прямоугольном треугольнике $A B F,$ где $B F = h = 12$ и $A F = 5 :$

A B = A F^{2} + B F^{2} = 5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 13.

Так как трапеция равнобедренная, $C D = A B = 13 .$ В равнобедренной трапеции диагонали равны, поэтому $B D = A C = 261 .$

C M = \frac{1}{2} 2 \cdot B C^{2} + 2 \cdot C D^{2} - B D^{2} = \frac{1}{2} 2 \cdot 25 + 2 \cdot 169 - 244 = \frac{1}{2} 50 + 338 - 244 = \frac{1}{2} 144 = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6.

Таким образом, расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $B D$ равно 6.

Ответ: 6.

Задача №15261

Задача #15261

Решай похожие задачи

Информация

Задача №15261

Задача #15261

Решай похожие задачи

Информация

Задача #15261

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #15261

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация