Задача №15260

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R=8\text{.}$ Известно, что $AB=BC=CD=12\text{.}$

а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.

б) Найдите $AD\text{.}$

а) Доказательство параллельности.
В окружности с центром O проведены равные хорды: $AB=CD=12\text{.}$ Следовательно, дуги $\breve{AB}$ и $\breve{CD}$ равны. Углы $\angle ACB$ и $\angle CAD$ являются вписанными и опираются на эти дуги, поэтому они равны:

$$\angle ACB=\angle CAD.$$

Эти углы — накрест лежащие при прямых $BC\text{,}$ $AD$ и секущей $AC\text{.}$ Значит,

$$BC\parallel AD.$$

**

б) Нахождение $AD\text{.}$**
Из пункта (а) следует, что $ABCD$ — трапеция. Так как $AB=CD\text{,}$ трапеция равнобедренная: $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $BC$ и $AD\text{.}$

1. Введём обозначения.
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC=12$) углы при основании $AC$ равны. Пусть

$$\angle BAC=\angle BCA=\alpha .$$

Тогда

$$\angle ABC=180^{\circ }-2\alpha .$$

2. Углы трапеции.
Поскольку $BC\parallel AD\text{,}$

$$\angle CAD=\angle BCA=\alpha \text{(накрест лежащи е) }.$$

Угол $BAD$ состоит из двух частей:

$$\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=\alpha +\alpha =2\alpha .$$

В равнобедренной трапеции углы при основании $AD$ равны, поэтому

$$\angle ADC=\angle BAD=2\alpha .$$

3. Треугольник $ACD\text{.}$
В треугольнике $ACD$ известны:

$$\angle CAD=\alpha ,\angle ADC=2\alpha .$$

Сумма углов треугольника:

$$\angle ACD=180^{\circ }-(\alpha +2\alpha )=180^{\circ }-3\alpha .$$

4. Применение теоремы синусов.
Треугольник $ACD$ вписан в окружность радиуса $R=8\text{.}$ По теореме синусов:

$$\frac{CD}{\sin \angle CAD}=2R.$$

Подставляем $CD=12\text{,}$ $R=8\text{:}$

$$\frac{12}{\sin \alpha }=16\Rightarrow \sin \alpha =\frac{12}{16}=\frac{3}{4}.$$

Для стороны $AD\text{:}$

$$\frac{AD}{\sin \angle ACD}=2R\Rightarrow \frac{AD}{\sin (180^{\circ }-3\alpha )}=\frac{AD}{\sin 3\alpha }=16.$$

5. Вычисление $\sin 3\alpha \text{.}$
Используем формулу синуса тройного угла:

$$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha .$$

Подставляем $\sin \alpha =\frac{3}{4}\text{:}$

$$\sin 3\alpha =3\cdot \frac{3}{4}-4\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{9}{4}-4\cdot \frac{27}{64}=\frac{9}{4}-\frac{108}{64}.$$

Приводим к общему знаменателю 64:

$$\frac{9}{4}=\frac{144}{64},\text{тогда}\sin 3\alpha =\frac{144}{64}-\frac{108}{64}=\frac{36}{64}=\frac{9}{16}.$$

6. Нахождение $AD\text{.}$

$$AD=16\cdot \sin 3\alpha =16\cdot \frac{9}{16}=9.$$

Ответ: 9