Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 8 . Известно, что AB = BC = CD = 12 . а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны. б) Найдите AD .
а) Доказательство параллельности. В окружности с центром O проведены равные хорды: AB = CD = 12 . Следовательно, дуги AB и CD равны. Углы ACB и CAD являются вписанными и опираются на эти дуги, поэтому они равны: ACB = CAD. Эти углы — накрест лежащие при прямых BC , AD и секущей AC . Значит, BC AD. б) Нахождение AD . Из пункта (а) следует, что ABCD — трапеция. Так как AB = CD , трапеция равнобедренная: ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями BC и AD . Введём обозначения. В равнобедренном треугольнике ABC ( AB = BC = 12 ) углы при основании AC равны. Пусть BAC = BCA = alpha. Тогда ABC = 180^ - 2alpha. Углы трапеции. Поскольку BC AD , CAD = BCA = alpha (накрест лежащи е) . Угол BAD состоит из двух частей: BAD = BAC + CAD = alpha + alpha = 2alpha. В равнобедренной трапеции углы при основании AD равны, поэтому ADC = BAD = 2alpha. Треугольник ACD . В треугольнике ACD известны: CAD = alpha, ADC = 2alpha. Сумма углов треугольника: ACD = 180^ - (alpha + 2alpha) = 180^ - 3alpha. Применение теоремы синусов. Треугольник ACD вписан в окружность радиуса R = 8 . По теореме синусов: (CD)/(sin CAD) = 2R. Подставляем CD = 12 , R = 8 : (12)/() = 16 => = (12)/(16) = (3)/(4). Для стороны AD : (AD)/(sin ACD) = 2R => (AD)/(sin(180^ - 3alpha)) = (AD)/(sin 3alpha) = 16. Вычисление sin 3alpha . Используем формулу синуса тройного угла: sin 3alpha = 3 - 4sin^3alpha. Подставляем = (3)/(4) : sin 3alpha = 3*(3)/(4) - 4*( (3)/(4))^3 = (9)/(4) - 4*(27)/(64) = (9)/(4) - (108)/(64). Приводим к общему знаменателю 64: (9)/(4) = (144)/(64), тогда sin 3alpha = (144)/(64) - (108)/(64) = (36)/(64) = (9)/(16). Нахождение AD . AD = 16*sin 3alpha = 16*(9)/(16) = 9. Ответ: 9
а) доказано
б) 9