Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках C_1 и B_1 соответственно. б) Вычислите длину стороны BC и радиус данной окружности, если A = 45^, B_1 C_1 = 6 и площадь треугольника A B_1 C_1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника B C B_1 C_1.

1. Так как четырёхугольник BCB_1C_1 вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна 180^. Тогда: AC_1B_1 = 180^ - BC_1B_1 = C AB_1C_1 = 180^ - CB_1C_1 = B Следовательно, AB_1C_1 ACB по двум углам (угол A — общий). 2. Пусть площадь треугольника AB_1C_1 равна S. По условию площадь четырёхугольника BCB_1C_1 равна 8S. Тогда площадь треугольника ABC равна: S_(ABC) = S_(AB_1C_1) + S_(BCB_1C_1) = S + 8S = 9S Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия k: k^2 = (S_(ABC))/(S_(AB_1C_1)) = (9S)/(S) = 9 => k = 3 Отсюда следует, что стороны треугольника ABC в 3 раза больше соответствующих сторон треугольника AB_1C_1: BC = 3 * B_1C_1 = 3 * 6 = 18 AC = 3 * AC_1, AB = 3 * AB_1 3. Найдём радиус R окружности, проходящей через точки B, C, B_1, C_1. По теореме синусов для треугольника BC_1C, вписанного в эту окружность: 2R = (BC)/(sin BC_1C) = (18)/(sin(180^ - AC_1C)) = (18)/(sin AC_1C) В треугольнике AC_1C по теореме синусов: (AC)/(sin AC_1C) = (CC_1)/(sin A) => sin AC_1C = (AC * sin 45^)/(CC_1) = (AC)/(CC_1 * sqrt(2)) Подставляя это в выражение для 2R, получаем: 2R = (18 * CC_1 * sqrt(2))/(AC) => R = (9sqrt(2) * CC_1)/(AC) 4. Выразим CC_1 через AC с помощью теоремы косинусов в треугольнике AC_1C. Так как AC = 3 * AC_1, имеем AC_1 = (1)/(3) AC: CC_1^2 = AC^2 + AC_1^2 - 2 * AC * AC_1 * cos 45^ = AC^2 + (AC^2)/(9) - 2 * AC * (AC)/(3) * (sqrt(2))/(2) = AC^2 * ( (10)/(9) - (sqrt(2))/(3) ) = AC^2 * (10 - 3sqrt(2))/(9) Отсюда: (CC_1^2)/(AC^2) = (10 - 3sqrt(2))/(9) 5. Вычисляем квадрат радиуса: R^2 = (81 * 2 * CC_1^2)/(AC^2) = 162 * (10 - 3sqrt(2))/(9) = 18(10 - 3sqrt(2)) = 180 - 54sqrt(2) R = sqrt(9(20 - 62)) = 3sqrt(20 - 62) Ответ: BC = 18, R = 3sqrt(20 - 62).

18; \( 3\sqrt{20 - 6\sqrt{2}} \)