Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках C1 и B1 соответственно.
б) Вычислите длину стороны BC и радиус данной окружности, если ∠A=45∘, B1C1=6 и площадь треугольника AB1C1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB1C1.
1. Так как четырёхугольник BCB1C1 вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна 180∘. Тогда:
∠AC1B1=180∘−∠BC1B1=∠C ∠AB1C1=180∘−∠CB1C1=∠BСледовательно, △AB1C1∼△ACB по двум углам (угол A — общий).
2. Пусть площадь треугольника AB1C1 равна S. По условию площадь четырёхугольника BCB1C1 равна 8S. Тогда площадь треугольника ABC равна:
SABC=SAB1C1+SBCB1C1=S+8S=9SОтношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия k:
k2=SAB1C1SABC=S9S=9⇒k=3Отсюда следует, что стороны треугольника ABC в 3 раза больше соответствующих сторон треугольника AB1C1:
BC=3⋅B1C1=3⋅6=18 AC=3⋅AC1,AB=3⋅AB13. Найдём радиус R окружности, проходящей через точки B,C,B1,C1. По теореме синусов для треугольника BC1C, вписанного в эту окружность:
2R=sin∠BC1CBC=sin(180∘−∠AC1C)18=sin∠AC1C18В треугольнике AC1C по теореме синусов:
sin∠AC1CAC=sin∠ACC1⇒sin∠AC1C=CC1AC⋅sin45∘=CC1⋅2ACПодставляя это в выражение для 2R, получаем:
2R=AC18⋅CC1⋅2⇒R=AC92⋅CC14. Выразим CC1 через AC с помощью теоремы косинусов в треугольнике AC1C. Так как AC=3⋅AC1, имеем AC1=31AC:
CC12=AC2+AC12−2⋅AC⋅AC1⋅cos45∘=AC2+9AC2−2⋅AC⋅3AC⋅22=AC2⋅(910−32)=AC2⋅910−32Отсюда:
AC2CC12=910−325. Вычисляем квадрат радиуса:
R2=AC281⋅2⋅CC12=162⋅910−32=18(10−32)=180−542 R=9(20−62)=320−62Ответ: BC=18, R=320−62.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ