Решите неравенство _7 (2x^2 + 12) - _7 (x^2 - x + 12) _7(2 - (1)/(x)).

ОДЗ: cases 2x^2+12 > 0 (выполнено всегда), x^2 - x + 12 > 0 (дискриминант отрицателен, выполнено), 2 - (1)/(x) > 0, x!= 0. cases Из 2 - (1)/(x) > 0: (2x-1)/(x) > 0 =>x < 0 или x > (1)/(2). Итак, ОДЗ: x < 0 или x > (1)/(2). Преобразуем неравенство: _7(2x^2+12)/(x^2 - x + 12) _7(2 - (1)/(x)). Так как основание 7 > 1, получаем: (2x^2+12)/(x^2 - x + 12) 2 - (1)/(x). Переносим всё в одну сторону: (2x^2+12)/(x^2 - x + 12) - 2 + (1)/(x) 0. Приведём к общему знаменателю x(x^2 - x + 12): (x(2x^2+12) - 2x(x^2 - x + 12) + (x^2 - x + 12))/(x(x^2 - x + 12)) 0. Упростим числитель: x(2x^2+12) = 2x^3 + 12x, -2x(x^2 - x + 12) = -2x^3 + 2x^2 - 24x, x^2 - x + 12 = x^2 - x + 12. Суммируем: (2x^3+12x) + (-2x^3+2x^2-24x) + (x^2 - x + 12) = 3x^2 - 13x + 12. Итак, неравенство: (3x^2 - 13x + 12)/(x(x^2 - x + 12)) 0. Квадратный трёхчлен 3x^2 - 13x + 12 имеет корни: D=169-144=25, x_1 = (13-5)/(6) = (4)/(3), x_2 = (13+5)/(6) = 3. Значит, 3x^2 - 13x + 12 = 3(x - (4)/(3))(x - 3). Знаменатель: x > 0 при x>0 и x^2 - x + 12 > 0 всегда. Поэтому знак дроби определяется числителем и множителем x в знаменателе. Получаем: (3(x - 43)(x - 3))/(x) 0 <=> ((x - 43)(x - 3))/(x) 0. Метод интервалов по точкам 0, (4)/(3), 3: - при x < 0: все три множителя отрицательны, дробь отрицательна; - при 0 < x < (4)/(3): x>0, x-(4)/(3)<0, x-3<0 ⇒ два минуса, дробь положительна; - при (4)/(3) < x < 3: x>0, x-(4)/(3)>0, x-3<0 ⇒ один минус, дробь отрицательна; - при x > 3: все положительны, дробь положительна. Неравенство 0 выполняется при 0 < x (4)/(3) или x 3, а также при x=0 не входит из-за знаменателя. Учитываем ОДЗ (x<0 или x>(1)/(2)): из x<0 решений нет (дробь отрицательна), из x>(1)/(2) получаем: ((1)/(2); (4)/(3)] U [3; +inf). Проверим границы: x=(4)/(3) — числитель обращается в ноль, неравенство нестрогое, подходит; x=3 — аналогично. x=(1)/(2) не входит, так как на интервале (0; (1)/(2)] не рассматриваем. Ответ: ((1)/(2); (4)/(3)] U [3; +inf).

\( \left( \frac{1}{2}; \frac{4}{3}\right] \cup [3; +\infty) \)