Задача №15258

Решите неравенство

$${\log }_7(2x^2+12)-{\log }_7(x^2-x+12)⩾{\log }_7\left(2-\frac{1}{x}\right).$$

ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}2x^2+12>0(\text{выполнено всегда}),\\ x^2-x+12>0(\text{дискриминант отрицателен, выполнено}),\\ 2-\frac{1}{x}>0,\\ x\ne 0.\end{array}$$

Из $2-\frac{1}{x}>0\text{:}$ $\frac{2x-1}{x}>0\Rightarrow x<0$ или $x>\frac{1}{2}\text{.}$ Итак, ОДЗ: $x<0$ или $x>\frac{1}{2}\text{.}$

Преобразуем неравенство:

$${\log }_7\frac{2x^2+12}{x^2-x+12}⩾{\log }_7\left(2-\frac{1}{x}\right).$$

Так как основание $7>1\text{,}$ получаем:

$$\frac{2x^2+12}{x^2-x+12}⩾2-\frac{1}{x}.$$

Переносим всё в одну сторону:

$$\frac{2x^2+12}{x^2-x+12}-2+\frac{1}{x}⩾0.$$

Приведём к общему знаменателю $x(x^2-x+12)\text{:}$

$$\frac{x(2x^2+12)-2x(x^2-x+12)+(x^2-x+12)}{x(x^2-x+12)}⩾0.$$

Упростим числитель:

$$x(2x^2+12)=2x^3+12x,$$ $$-2x(x^2-x+12)=-2x^3+2x^2-24x,$$ $$x^2-x+12=x^2-x+12.$$

Суммируем: $(2x^3+12x)+(-2x^3+2x^2-24x)+(x^2-x+12)=3x^2-13x+12\text{.}$ Итак, неравенство:

$$\frac{3x^2-13x+12}{x(x^2-x+12)}⩾0.$$

Квадратный трёхчлен $3x^2-13x+12$ имеет корни: $D=169-144=25\text{,}$ $x_1=\frac{13-5}{6}=\frac{4}{3}\text{,}$ $x_2=\frac{13+5}{6}=3\text{.}$ Значит, $3x^2-13x+12=3\left(x-\frac{4}{3}\right)(x-3)\text{.}$ Знаменатель: $x>0$ при $x>0$ и $x^2-x+12>0$ всегда. Поэтому знак дроби определяется числителем и множителем $x$ в знаменателе. Получаем:

$$\frac{3\left(x-\frac{4}{3}\right)(x-3)}{x}⩾0\iff \frac{\left(x-\frac{4}{3}\right)(x-3)}{x}⩾0.$$

Метод интервалов по точкам $0\text{,}$ $\frac{4}{3}\text{,}$ $3\text{:}$

• при $x<0\text{:}$ все три множителя отрицательны, дробь отрицательна;
• при $0<x<\frac{4}{3}\text{:}$ $x>0\text{,}$ $x-\frac{4}{3}<0\text{,}$ $x-3<0$ ⇒ два минуса, дробь положительна;
• при $\frac{4}{3}<x<3\text{:}$ $x>0\text{,}$ $x-\frac{4}{3}>0\text{,}$ $x-3<0$ ⇒ один минус, дробь отрицательна;
• при $x>3\text{:}$ все положительны, дробь положительна.
  Неравенство $⩾0$ выполняется при $0<x⩽\frac{4}{3}$ или $x⩾3\text{,}$ а также при $x=0$ не входит из-за знаменателя. Учитываем ОДЗ ($x<0$ или $x>\frac{1}{2}$): из $x<0$ решений нет (дробь отрицательна), из $x>\frac{1}{2}$ получаем:

$$\left(\frac{1}{2};\frac{4}{3}\right]\cup [3;+\infty ).$$

Проверим границы: $x=\frac{4}{3}$ — числитель обращается в ноль, неравенство нестрогое, подходит; $x=3$ — аналогично. $x=\frac{1}{2}$ не входит, так как на интервале $(0;\frac{1}{2}]$ не рассматриваем.

Ответ:

$$\left(\frac{1}{2};\frac{4}{3}\right]\cup [3;+\infty ).$$