Задача №15257

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн рублей на срок 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на $r$% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку $r\text{,}$ если известно, что последний платёж будет не менее 0,92 млн рублей.

Кредит $S=8$ млн рублей на $n=10$ лет. Ежегодное уменьшение долга в июле:

$$d=\frac{S}{n}=0,8\text{ млн}.$$

Последний платёж (в 10-й го

д): долг на начало года после начисления процентов:

$$(S-9d)\left(1+\frac{r}{100}\right)=(8-7,2)\left(1+\frac{r}{100}\right)=0,8\left(1+\frac{r}{100}\right).$$

Выплата:

$$X_{10}=0,8\left(1+\frac{r}{100}\right).$$

Условие:

$$X_{10}\ge 0,92\Rightarrow 0,8\left(1+\frac{r}{100}\right)\ge 0,92.$$

Решим неравенство:

$$1+\frac{r}{100}\ge \frac{0,92}{0,8}=1,15\Rightarrow \frac{r}{100}\ge 0,15\Rightarrow r\ge 15.$$

Ответ: $r=15\text{.}$