Задача №15256

В треугольнике $ABC$ точки $A_1\text{,}$ $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC\text{,}$ $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC=120^{\circ }\text{,}$ $\angle BCA=15^{\circ }\text{.}$
а) Докажите, что точки $A_1\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $A_{1}H\text{,}$ если $BC=4\sqrt{3}\text{.}$

а) Докажем, что точки $A_1\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

1. Найдём углы треугольника $ABC$:

$$\angle BAC=120^{\circ },\angle BCA=15^{\circ }\Rightarrow \angle ABC=180^{\circ }-120^{\circ }-15^{\circ }=45^{\circ }.$$

2. Рассмотрим треугольник $ABH$:
Так как $AH$ — высота, $\angle AHB=90^{\circ }\text{.}$ В нём $\angle ABH=45^{\circ }\text{,}$ поэтому $\angle BAH=45^{\circ }$ и треугольник равнобедренный: $AH=BH\text{.}$
Точка $C_1$ — середина гипотенузы $AB\text{,}$ значит,

$$C_{1}A=C_{1}B=C_{1}H=\frac{AB}{2}.$$

3. Треугольник $A_1{B}_1{C}_1$ — средний треугольник, подобный $ABC\text{,}$ поэтому

$$\angle A_1{B}_1{C}_1=\angle ABC=45^{\circ }.$$

4. Вычислим $\angle A_{1}H{C}_1$:
Пусть $BC=a\text{.}$ По теореме синусов для треугольника $ABC\text{:}$

$$\frac{a}{\sin 120^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 15^{\circ }}=\frac{AC}{\sin 45^{\circ }}.$$

Отсюда

$$AB=a\cdot \frac{\sin 15^{\circ }}{\sin 120^{\circ }},AC=a\cdot \frac{\sin 45^{\circ }}{\sin 120^{\circ }}.$$

В треугольнике $ABH\text{:}$

$$BH=AB\cdot \cos 45^{\circ }=\frac{AB}{\sqrt{2}}.$$

Так как $A_1$ — середина $BC\text{,}$ то $B{A}_1=\frac{a}{2}\text{.}$
Поскольку $BH<B{A}_1$ (можно проверить), точка $H$ лежит между $B$ и $A_1\text{,}$ и

$$A_{1}H=B{A}_1-BH=\frac{a}{2}-\frac{AB}{\sqrt{2}}.$$

Также

$$H{C}_1=\frac{AB}{2},A_1{C}_1=\frac{AC}{2}.$$

Подставляя выражения через $a\text{,}$ после упрощений получаем:

$$A_{1}H=\frac{a\sqrt{3}}{6},H{C}_1=\frac{a(3\sqrt{2}-\sqrt{6})}{12},A_1{C}_1=\frac{a\sqrt{6}}{6}.$$

Применяя теорему косинусов в треугольнике $A_{1}H{C}_1\text{:}$

$$\cos \angle A_{1}H{C}_1=\frac{A_1{H}^2+H{C}_1^2-A_1{C}_1^2}{2\cdot A_{1}H\cdot H{C}_1}=-\frac{\sqrt{2}}{2},$$

откуда $\angle A_{1}H{C}_1=135^{\circ }\text{.}$

5. В четырёхугольнике $A_1{B}_1{C}_{1}H$:

$$\angle A_1{B}_1{C}_1+\angle A_{1}H{C}_1=45^{\circ }+135^{\circ }=180^{\circ }.$$

Следовательно, около него можно описать окружность, и точки $A_1\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C_1\text{,}$ $H$ лежат на одной окружности.

**

б)** Найдём $A_{1}H$ при $BC=4\sqrt{3}\text{.}$
Из выражения $A_{1}H=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ при $a=4\sqrt{3}$ получаем:

$$A_{1}H=\frac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{6}=\frac{4\cdot 3}{6}=2.$$

Ответ: $2\text{.}$