Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB.
б) Найдите длину отрезка NO, если известно, что AC=10 и AB=24.
а) Так как окружность касается сторон угла, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны соответствующим сторонам: OA⊥NA и OB⊥NB. Следовательно, расстояния от точки O до прямых NA и NB равны (оба равны радиусу), значит, O лежит на биссектрисе угла ANB. Поэтому прямая NO является биссектрисой угла ANB.
Пусть M=AB∩NO. Так как из точки N к окружности проведены касательные NA и NB, то NA=NB. Кроме того, NM — общая сторона, а ∠ANM=∠MNB, так как NM⊂NO, а NO — биссектриса угла ANB. Следовательно, △ANM≅△BNM (по двум сторонам и углу между ними).
Отсюда ∠AMN=∠NMB. Эти углы смежные (лучи MA и MB — противоположны
е), значит каждый из них равен 90∘. Следовательно, NO⊥AB.
По условию BC — диаметр окружности, значит вписанный угол ∠BAC, опирающийся на диаметр BC, равен 90∘. Следовательно, AC⊥AB.
Итак, NO⊥AB и AC⊥AB, значит AC∥NO. Так как NO — биссектриса угла ANB, то AC параллельна биссектрисе угла ANB.
б) Так как ∠BAC=90∘, то в прямоугольном треугольнике ABC
BC=AB2+AC2=242+102=676=26.Следовательно, радиус окружности R=2BC=13, то есть OA=13.
Из пункта а) имеем NO⊥AB. Поскольку O — центр окружности и AB — хорда, то перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, значит M — середина AB и AM=2AB=12.
В прямоугольном треугольнике AOM (OM⊥AB, AM⊂AB):
OM=AO2−AM2=132−122=25=5.Пусть NM=x. Тогда NO=NM+MO=x+5 (точка M лежит между N и O).
Треугольник ANM прямоугольный при M, поэтому
AN2=NM2+AM2=x2+144.Треугольник AON прямоугольный при A (так как OA⊥AN), поэтому
NO2=AN2+AO2=(x2+144)+169=x2+313.Но NO=x+5, значит
(x+5)2=x2+313⇒x2+10x+25=x2+313⇒10x=288⇒x=5144.Тогда
NO=x+5=5144+525=5169.Ответ: 5169.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ