Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB. б) Найдите длину отрезка NO, если известно, что AC = 10 и AB = 24.

а) Так как окружность касается сторон угла, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны соответствующим сторонам: OA NA и OB NB. Следовательно, расстояния от точки O до прямых NA и NB равны (оба равны радиусу), значит, O лежит на биссектрисе угла ANB. Поэтому прямая NO является биссектрисой угла ANB. Пусть M=ABn NO. Так как из точки N к окружности проведены касательные NA и NB, то NA=NB. Кроме того, NM — общая сторона, а ANM= MNB, так как NMc NO, а NO — биссектриса угла ANB. Следовательно, ANM BNM (по двум сторонам и углу между ними). Отсюда AMN= NMB. Эти углы смежные (лучи MA и MB — противоположны е), значит каждый из них равен 90^. Следовательно, NO AB. По условию BC — диаметр окружности, значит вписанный угол BAC, опирающийся на диаметр BC, равен 90^. Следовательно, AC AB. Итак, NO AB и AC AB, значит AC NO. Так как NO — биссектриса угла ANB, то AC параллельна биссектрисе угла ANB. б) Так как BAC=90^, то в прямоугольном треугольнике ABC BC=sqrt(AB^2+AC^2)=sqrt(24^2+10^2)=sqrt(676)=26. Следовательно, радиус окружности R = (BC)/(2) = 13 , то есть OA=13. Из пункта а) имеем NO AB. Поскольку O — центр окружности и AB — хорда, то перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, значит M — середина AB и AM=(AB)/(2)=12. В прямоугольном треугольнике AOM (OM AB, AMc AB): OM=sqrt(AO^2-AM^2)=sqrt(13^2-12^2)=sqrt(25)=5. Пусть NM=x. Тогда NO=NM+MO=x+5 (точка M лежит между N и O). Треугольник ANM прямоугольный при M, поэтому AN^2=NM^2+AM^2=x^2+144. Треугольник AON прямоугольный при A (так как OA AN), поэтому NO^2=AN^2+AO^2=(x^2+144)+169=x^2+313. Но NO=x+5, значит (x+5)^2=x^2+313=> x^2+10x+25=x^2+313=> 10x=288=> x=(144)/(5). Тогда NO = x+5 = (144)/(5) + (25)/(5) = (169)/(5). Ответ: (169)/(5) .

а) доказано б) 33,8