Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно. а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны. б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите длину отрезка AL, если радиус большей окружности равен 34, а BC = 32.

Дано: две окружности касаются внутренним образом в точке A, меньшая проходит через центр O большей окружности. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно. а) Докажем, что KM BC. 1. Пусть O — центр большей окружности, Q — центр меньшей. Так как окружности касаются внутренне в A, то точки Q, A и O лежат на одной прямой, причём Q между A и O. 2. По условию меньшая окружность проходит через O, значит, O лежит на ней. Следовательно, отрезок OA является диаметром меньшей окружности (центр Q — середина OA). 3. Точки K и M лежат на меньшей окружности, поэтому углы AKO и AMO, опирающиеся на диаметр OA, прямые: AKO = 90^, AMO = 90^. 4. В большей окружности перпендикуляры из центра O к хордам AB и AC делят эти хорды пополам. Значит, K — середина AB, а M — середина AC. 5. Таким образом, KM — средняя линия треугольника ABC, откуда следует KM BC. б) Найдём длину отрезка AL, где L — точка пересечения KM и AP. Радиус большей окружности R = OB = 34, хорда BC = 32. 1. Опустим перпендикуляр OH на хорду BC. Тогда H — середина BC: BH = (BC)/(2) = 16. Из прямоугольного треугольника OHB находим: OH = sqrt(OB^2 - BH^2) = sqrt(34^2 - 16^2) = sqrt(1156 - 256) = sqrt(900) = 30. 2. Так как меньшая окружность касается BC в точке P, радиус QP BC. Поэтому QP OH (оба перпендикулярны BC). 3. Опустим перпендикуляр QF на OH (F лежит на OH). Получим прямоугольник QFHP, так как все углы прямые. Следовательно, QF = PH, QP = FH. 4. Найдём радиус меньшей окружности. Поскольку OA = 34 и Q — середина OA (ибо OA — диаметр меньшей), то OQ = AQ = (OA)/(2) = 17. Радиус QP = 17, поэтому FH = 17. 5. Тогда OF = OH - FH = 30 - 17 = 13. В прямоугольном треугольнике OQF ( F = 90^ ) по теореме Пифагора: QF = sqrt(OQ^2 - OF^2) = sqrt(17^2 - 13^2) = sqrt(289 - 169) = sqrt(120) = 2sqrt(30). Значит, PH = QF = 2sqrt(30). 6. Из прямоугольного треугольника OHP находим OP: OP^2 = OH^2 + PH^2 = 30^2 + (2sqrt(30))^2 = 900 + 120 = 1020, OP = sqrt(1020) = 2sqrt(255). 7. В треугольнике APO угол P прямой, так как AP опирается на диаметр OA меньшей окружности. По теореме Пифагора: AP^2 = OA^2 - OP^2 = 34^2 - 1020 = 1156 - 1020 = 136, AP = sqrt(136) = 2sqrt(34). 8. В пункте а) доказано, что KM — средняя линия треугольника ABC. Точка L лежит на KM, следовательно, из подобия треугольников AKL и ABP (так как KL BP) получаем: (AL)/(AP) = (AK)/(AB) = (1)/(2). Поэтому L — середина AP, и AL = (AP)/(2) = (2sqrt(34))/(2) = sqrt(34). Ответ: sqrt(34) .

а) доказано б) \(\sqrt{34}\)