Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно. а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны. б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите длину отрезка AL, если радиус большей окружности равен 34, а BC = 32.
Дано: две окружности касаются внутренним образом в точке A, меньшая проходит через центр O большей окружности. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно. а) Докажем, что KM BC. Пусть O — центр большей окружности, Q — центр меньшей. Так как окружности касаются внутренне в A, то точки Q, A и O лежат на одной прямой, причём Q между A и O. По условию меньшая окружность проходит через O, значит, O лежит на ней. Следовательно, отрезок OA является диаметром меньшей окружности (центр Q — середина OA). Точки K и M лежат на меньшей окружности, поэтому углы AKO и AMO, опирающиеся на диаметр OA, прямые: AKO = 90^, AMO = 90^. В большей окружности перпендикуляры из центра O к хордам AB и AC делят эти хорды пополам. Значит, K — середина AB, а M — середина AC. Таким образом, KM — средняя линия треугольника ABC, откуда следует KM BC. б) Найдём длину отрезка AL, где L — точка пересечения KM и AP. Радиус большей окружности R = OB = 34, хорда BC = 32. Опустим перпендикуляр OH на хорду BC. Тогда H — середина BC: BH = (BC)/(2) = 16. Из прямоугольного треугольника OHB находим: OH = sqrt(OB^2 - BH^2) = sqrt(34^2 - 16^2) = sqrt(1156 - 256) = sqrt(900) = 30. Так как меньшая окружность касается BC в точке P, радиус QP BC. Поэтому QP OH (оба перпендикулярны BC). Опустим перпендикуляр QF на OH (F лежит на OH). Получим прямоугольник QFHP, так как все углы прямые. Следовательно, QF = PH, QP = FH. Найдём радиус меньшей окружности. Поскольку OA = 34 и Q — середина OA (ибо OA — диаметр меньшей), то OQ = AQ = (OA)/(2) = 17. Радиус QP = 17, поэтому FH = 17. Тогда OF = OH - FH = 30 - 17 = 13. В прямоугольном треугольнике OQF ( F = 90^ ) по теореме Пифагора: QF = sqrt(OQ^2 - OF^2) = sqrt(17^2 - 13^2) = sqrt(289 - 169) = sqrt(120) = 2sqrt(30). Значит, PH = QF = 2sqrt(30). Из прямоугольного треугольника OHP находим OP: OP^2 = OH^2 + PH^2 = 30^2 + (2sqrt(30))^2 = 900 + 120 = 1020, OP = sqrt(1020) = 2sqrt(255). В треугольнике APO угол P прямой, так как AP опирается на диаметр OA меньшей окружности. По теореме Пифагора: AP^2 = OA^2 - OP^2 = 34^2 - 1020 = 1156 - 1020 = 136, AP = sqrt(136) = 2sqrt(34). В пункте а) доказано, что KM — средняя линия треугольника ABC. Точка L лежит на KM, следовательно, из подобия треугольников AKL и ABP (так как KL BP) получаем: (AL)/(AP) = (AK)/(AB) = (1)/(2). Поэтому L — середина AP, и AL = (AP)/(2) = (2sqrt(34))/(2) = sqrt(34). Ответ: sqrt(34) .
а) доказано
б) \(\sqrt{34}\)