Задача №15254

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A\text{,}$ причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P\text{.}$ Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.

б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP\text{.}$ Найдите длину отрезка $AL\text{,}$ если радиус большей окружности равен 34, а $BC=32\text{.}$

Дано: две окружности касаются внутренним образом в точке $A\text{,}$ меньшая проходит через центр $O$ большей окружности. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P\text{.}$ Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.

а) Докажем, что $KM\parallel BC\text{.}$

1. Пусть $O$ — центр большей окружности, $Q$ — центр меньшей. Так как окружности касаются внутренне в $A\text{,}$ то точки $Q\text{,}$ $A$ и $O$ лежат на одной прямой, причём $Q$ между $A$ и $O\text{.}$
2. По условию меньшая окружность проходит через $O\text{,}$ значит, $O$ лежит на ней. Следовательно, отрезок $OA$ является диаметром меньшей окружности (центр $Q$ — середина $OA$).
3. Точки $K$ и $M$ лежат на меньшей окружности, поэтому углы $AKO$ и $AMO\text{,}$ опирающиеся на диаметр $OA\text{,}$ прямые:

$$\angle AKO=90^{\circ },\angle AMO=90^{\circ }.$$

4. В большей окружности перпендикуляры из центра $O$ к хордам $AB$ и $AC$ делят эти хорды пополам. Значит, $K$ — середина $AB\text{,}$ а $M$ — середина $AC\text{.}$
5. Таким образом, $KM$ — средняя линия треугольника $ABC\text{,}$ откуда следует $KM\parallel BC\text{.}$

б) Найдём длину отрезка $AL\text{,}$ где $L$ — точка пересечения $KM$ и $AP\text{.}$ Радиус большей окружности $R=OB=34\text{,}$ хорда $BC=32\text{.}$

1. Опустим перпендикуляр $OH$ на хорду $BC\text{.}$ Тогда $H$ — середина $BC\text{:}$

$$BH=\frac{BC}{2}=16.$$

Из прямоугольного треугольника $OHB$ находим:

$$OH=\sqrt{O{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{34^2-16^2}=\sqrt{1156-256}=\sqrt{900}=30.$$

2. Так как меньшая окружность касается $BC$ в точке $P\text{,}$ радиус $QP\perp BC\text{.}$ Поэтому $QP\parallel OH$ (оба перпендикулярны $BC$).
3. Опустим перпендикуляр $QF$ на $OH$ ($F$ лежит на $OH$). Получим прямоугольник $QFHP\text{,}$ так как все углы прямые. Следовательно,

$$QF=PH,QP=FH.$$

4. Найдём радиус меньшей окружности. Поскольку $OA=34$ и $Q$ — середина $OA$ (ибо $OA$ — диаметр меньшей), то

$$OQ=AQ=\frac{OA}{2}=17.$$

Радиус $QP=17\text{,}$ поэтому $FH=17\text{.}$

5. Тогда

$$OF=OH-FH=30-17=13.$$

В прямоугольном треугольнике $OQF$ ($\angle F=90^{\circ }$) по теореме Пифагора:

$$QF=\sqrt{O{Q}^2-O{F}^2}=\sqrt{17^2-13^2}=\sqrt{289-169}=\sqrt{120}=2\sqrt{30}.$$

Значит, $PH=QF=2\sqrt{30}\text{.}$

6. Из прямоугольного треугольника $OHP$ находим $OP\text{:}$

$$O{P}^2=O{H}^2+P{H}^2=30^2+(2\sqrt{30}{)}^2=900+120=1020,OP=\sqrt{1020}=2\sqrt{255}.$$

7. В треугольнике $APO$ угол $P$ прямой, так как $AP$ опирается на диаметр $OA$ меньшей окружности. По теореме Пифагора:

$$A{P}^2=O{A}^2-O{P}^2=34^2-1020=1156-1020=136,AP=\sqrt{136}=2\sqrt{34}.$$

8. В пункте а) доказано, что $KM$ — средняя линия треугольника $ABC\text{.}$ Точка $L$ лежит на $KM\text{,}$ следовательно, из подобия треугольников $AKL$ и $ABP$ (так как $KL\parallel BP$) получаем:

$$\frac{AL}{AP}=\frac{AK}{AB}=\frac{1}{2}.$$

Поэтому $L$ — середина $AP\text{,}$ и

$$AL=\frac{AP}{2}=\frac{2\sqrt{34}}{2}=\sqrt{34}.$$

Ответ: $\sqrt{34}\text{.}$