Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2. а) Докажите, что BAC = 30^. б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC = sqrt(21).

а) Введём декартову систему координат с началом в точке C. Ось абсцисс направим по лучу CA, ось ординат — по лучу CB. Поскольку AK:KC=1:2, положим AK=a, KC=2a, тогда AC=3a. Координаты точек: C(0,0), A(3a,0), K(2a,0). Обозначим BC=b (где b>0), тогда B(0,b). Середина AB: M((3a+0)/(2),(0+b)/(2))=((3a)/(2),(b)/(2)). Векторы: CM=((3a)/(2),(b)/(2)), MK=(2a-(3a)/(2),0-(b)/(2))=((a)/(2),-(b)/(2)). Условие перпендикулярности CM и MK даёт: CM*MK=0(3a)/(2)*(a)/(2)+(b)/(2)*(-(b)/(2))=0 (3a^2)/(4)-(b^2)/(4)=0^2=3a^2=asqrt(3). В прямоугольном треугольнике ABC: tg BAC=(BC)/(AC)=(asqrt(3))/(3a)=(sqrt(3))/(3), следовательно, BAC=30^. б) Дано BC=sqrt(21). Из соотношения b=asqrt(3) находим: asqrt(3)=sqrt(21)=(sqrt(21))/(sqrt(3))=sqrt(7). Теперь координаты: A(3sqrt(7),0),B(0,sqrt(21)),K(2sqrt(7),0),M((3sqrt(7))/(2),(sqrt(21))/(2)),C(0,0). 1. Точка P — пересечение MK с BC (ось ординат). Параметризуем прямую MK: Направляющий вектор (sqrt(7),-sqrt(21)) (умножив ((sqrt(7))/(2),-(sqrt(21))/(2)) на 2). Через точку K(2sqrt(7),0): cases x=2sqrt(7)+tsqrt(7), y=0-tsqrt(21)=-tsqrt(21). cases При x=0: 2sqrt(7)+tsqrt(7)=0=> t=-2. Тогда y=-(-2)sqrt(21)=2sqrt(21). Итак, P(0,2sqrt(21)). 2. Точка Q — пересечение AP и BK. Уравнение AP (проходит через A и P): (x)/(3sqrt(7))+(y)/(2sqrt(21))=1. Уравнение BK (проходит через B и K): (x)/(2sqrt(7))+(y)/(sqrt(21))=1. Решим систему. Из второго уравнения: y=sqrt(21)(1-(x)/(2sqrt(7)))=sqrt(21)-(sqrt(3))/(2)x. Подставим в первое: (x)/(3sqrt(7))+(1)/(2sqrt(21))(sqrt(21)-(sqrt(3))/(2)x)=1 (x)/(3sqrt(7))+(1)/(2)-(x)/(4sqrt(7))=1. Упрощая: (x)/(12sqrt(7))=(1)/(2)=> x=6sqrt(7). Тогда y=sqrt(21)-(sqrt(3))/(2)*6sqrt(7)=sqrt(21)-3sqrt(21)=-2sqrt(21). Таким образом, Q(6sqrt(7),-2sqrt(21)). 3. Расстояние KQ: KQ=sqrt((67-27)^2+(-221-0)^2) =sqrt((47)^2+(-221)^2) =sqrt(16*7+4*21) =sqrt(112+84)=sqrt(196)=14. Ответ: 14

а) доказано б) 14