Задача №15253

Прямая, проходящая через середину $M$ гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC\text{,}$ перпендикулярна $CM$ и пересекает катет $AC$ в точке $K\text{.}$ При этом $AK:KC=1:2\text{.}$

а) Докажите, что $\angle BAC=30^{\circ }\text{.}$

б) Пусть прямые $MK$ и $BC$ пересекаются в точке $P\text{,}$ а прямые $AP$ и $BK$ — в точке $Q\text{.}$ Найдите $KQ\text{,}$ если $BC=\sqrt{21}\text{.}$

а) Введём декартову систему координат с началом в точке $C\text{.}$ Ось абсцисс направим по лучу $CA\text{,}$ ось ординат — по лучу $CB\text{.}$ Поскольку $AK:KC=1:2\text{,}$ положим $AK=a\text{,}$ $KC=2a\text{,}$ тогда $AC=3a\text{.}$

Координаты точек:

$$C(0,0),A(3a,0),K(2a,0).$$

Обозначим $BC=b$ (где $b>0$), тогда $B(0,b)\text{.}$

Середина $AB\text{:}$

$$M\left(\frac{3a+0}{2},\frac{0+b}{2}\right)=\left(\frac{3a}{2},\frac{b}{2}\right).$$

Векторы:

$$\overrightarrow{CM}=\left(\frac{3a}{2},\frac{b}{2}\right),\overrightarrow{MK}=\left(2a-\frac{3a}{2},0-\frac{b}{2}\right)=\left(\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right).$$

Условие перпендикулярности $CM$ и $MK$ даёт:

$$\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{MK}=0⟹\frac{3a}{2}\cdot \frac{a}{2}+\frac{b}{2}\cdot \left(-\frac{b}{2}\right)=0⟹\frac{3a^2}{4}-\frac{b^2}{4}=0⟹b^2=3a^2⟹b=a\sqrt{3}.$$

В прямоугольном треугольнике $ABC\text{:}$

$$\mathrm{tg}\angle BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{3a}=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

следовательно, $\angle BAC=30^{\circ }\text{.}$

б) Дано $BC=\sqrt{21}\text{.}$ Из соотношения $b=a\sqrt{3}$ находим:

$$a\sqrt{3}=\sqrt{21}⟹a=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{3}}=\sqrt{7}.$$

Теперь координаты:

$$A(3\sqrt{7},0),B(0,\sqrt{21}),K(2\sqrt{7},0),M\left(\frac{3\sqrt{7}}{2},\frac{\sqrt{21}}{2}\right),C(0,0).$$

1. Точка $P$ — пересечение $MK$ с $BC$ (ось ординат). Параметризуем прямую $MK\text{:}$

Направляющий вектор $\left(\sqrt{7},-\sqrt{21}\right)$ (умножив $\left(\frac{\sqrt{7}}{2},-\frac{\sqrt{21}}{2}\right)$ на 2). Через точку $K(2\sqrt{7},0)\text{:}$

$$\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{7}+t\sqrt{7},\\ y=0-t\sqrt{21}=-t\sqrt{21}.\end{array}$$

При $x=0\text{:}$ $2\sqrt{7}+t\sqrt{7}=0\Rightarrow t=-2\text{.}$ Тогда $y=-(-2)\sqrt{21}=2\sqrt{21}\text{.}$

Итак, $P(0,2\sqrt{21})\text{.}$

2. Точка $Q$ — пересечение $AP$ и $BK\text{.}$

Уравнение $AP$ (проходит через $A$ и $P$):

$$\frac{x}{3\sqrt{7}}+\frac{y}{2\sqrt{21}}=1.$$

Уравнение $BK$ (проходит через $B$ и $K$):

$$\frac{x}{2\sqrt{7}}+\frac{y}{\sqrt{21}}=1.$$

Решим систему. Из второго уравнения:

$$y=\sqrt{21}\left(1-\frac{x}{2\sqrt{7}}\right)=\sqrt{21}-\frac{\sqrt{3}}{2}x.$$

Подставим в первое:

$$\frac{x}{3\sqrt{7}}+\frac{1}{2\sqrt{21}}\left(\sqrt{21}-\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)=1⟹\frac{x}{3\sqrt{7}}+\frac{1}{2}-\frac{x}{4\sqrt{7}}=1.$$

Упрощая:

$$\frac{x}{12\sqrt{7}}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=6\sqrt{7}.$$

Тогда

$$y=\sqrt{21}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 6\sqrt{7}=\sqrt{21}-3\sqrt{21}=-2\sqrt{21}.$$

Таким образом, $Q(6\sqrt{7},-2\sqrt{21})\text{.}$

3. Расстояние $KQ\text{:}$

$$KQ=\sqrt{(6\sqrt{7}-2\sqrt{7}{)}^2+(-2\sqrt{21}-0{)}^2}=\sqrt{(4\sqrt{7}{)}^2+(-2\sqrt{21}{)}^2}=\sqrt{16\cdot 7+4\cdot 21}=\sqrt{112+84}=\sqrt{196}=14.$$

Ответ: 14