Задача №15252

Решите неравенство

$${\log }_5\left(\frac{2}{x}+2\right)-{\log }_5(x+3)⩽{\log }_5\left(\frac{x+6}{x^2}\right)$$

Найдём ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}+2>0,\\ x+3>0,\\ \frac{x+6}{x^2}>0,\\ x\ne 0.\end{array}$$

Решим каждое неравенство:

1)

$$\frac{2}{x}+2>0\iff \frac{2+2x}{x}>0\iff \frac{2(x+1)}{x}>0\Rightarrow x\in (-\infty ;-1)\cup (0;+\infty ).$$

2)

$$x+3>0\Rightarrow x>-3.$$

3) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x+6}{x^2}>0.$$

Числитель $x+6>0\Rightarrow x>-6\text{,}$ знаменатель $x^2>0$ при $x\ne 0\text{.}$ Учитывая, что $x^2>0$ всегда при $x\ne 0\text{,}$ неравенство равносильно $x+6>0\Rightarrow x>-6\text{.}$
Объединяя с условием $x\ne 0\text{,}$ получаем $x>-6,x\ne 0\text{.}$

Пересекаем все условия:

$$\{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;-1)\cup (0;+\infty ),\\ x>-3,\\ x>-6,x\ne 0.\end{array}$$

Получаем $x\in (-3;-1)\cup (0;+\infty )\text{.}$

Преобразуем исходное неравенство:

$${\log }_5\left(\frac{2}{x}+2\right)-{\log }_5(x+3)⩽{\log }_5\left(\frac{x+6}{x^2}\right)\iff {\log }_5\left(\frac{\frac{2}{x}+2}{x+3}\right)⩽{\log }_5\left(\frac{x+6}{x^2}\right).$$

Так как основание $5>1\text{,}$ логарифмическая функция возрастает, поэтому:

$$\frac{\frac{2}{x}+2}{x+3}⩽\frac{x+6}{x^2},x\in (-3;-1)\cup (0;+\infty ).$$

Упростим левую часть:

$$\frac{2}{x}+2=\frac{2+2x}{x}=\frac{2(x+1)}{x}.$$

Тогда неравенство принимает вид:

$$\frac{\frac{2(x+1)}{x}}{x+3}⩽\frac{x+6}{x^2}\iff \frac{2(x+1)}{x(x+3)}⩽\frac{x+6}{x^2}.$$

Умножим обе части на $x^2>0$ (так как на ОДЗ $x\ne 0\text{,}$ а $x^2>0$ при всех $x\ne 0$):

$$2x(x+1)⩽(x+6)(x+3).$$

Раскроем скобки:

$$2x^2+2x⩽x^2+9x+18\iff x^2-7x-18⩽0.$$

Решаем квадратное неравенство:

$$x^2-7x-18=0\Rightarrow D=49+72=121,x_1=\frac{7-11}{2}=-2,x_2=\frac{7+11}{2}=9.$$

Значит, $x^2-7x-18⩽0\iff x\in [-2;9]\text{.}$

Учитывая ОДЗ $x\in (-3;-1)\cup (0;+\infty )\text{,}$ находим пересечение:

$$[-2;9]\cap ((-3;-1)\cup (0;+\infty ))=[-2;-1)\cup (0;9].$$

Ответ: $x\in [-2;-1)\cup (0;9]\text{.}$