Решите неравенство _5((2)/(x) + 2) - _5(x + 3) _5((x + 6)/(x^2))

Найдём ОДЗ: cases (2)/(x) + 2 > 0, x + 3 > 0, (x + 6)/(x^2) > 0, x!= 0. cases Решим каждое неравенство: 1) (2)/(x) + 2 > 0<=>(2 + 2x)/(x) > 0<=>(2(x + 1))/(x) > 0=> xin (-inf; -1) U (0; +inf). 2) x + 3 > 0=> x > -3. 3) Рассмотрим неравенство (x + 6)/(x^2) > 0. Числитель x + 6 > 0=> x > -6, знаменатель x^2 > 0 при x!= 0. Учитывая, что x^2 > 0 всегда при x!= 0, неравенство равносильно x + 6 > 0=> x > -6. Объединяя с условием x!= 0, получаем x > -6, x!= 0. Пересекаем все условия: cases xin (-inf; -1) U (0; +inf), x > -3, x > -6, x!= 0. cases Получаем xin (-3; -1) U (0; +inf). Преобразуем исходное неравенство: _5((2)/(x) + 2) - _5(x + 3) _5((x + 6)/(x^2)) <=>_5((2x + 2)/(x + 3)) _5((x + 6)/(x^2)). Так как основание 5 > 1, логарифмическая функция возрастает, поэтому: (2x + 2)/(x + 3) (x + 6)/(x^2), xin (-3; -1) U (0; +inf). Упростим левую часть: (2)/(x) + 2 = (2 + 2x)/(x) = (2(x + 1))/(x). Тогда неравенство принимает вид: (2(x + 1)x)/(x + 3) (x + 6)/(x^2)<=>(2(x + 1))/(x(x + 3)) (x + 6)/(x^2). Умножим обе части на x^2 > 0 (так как на ОДЗ x!= 0, а x^2 > 0 при всех x!= 0): 2x(x + 1) (x + 6)(x + 3). Раскроем скобки: 2x^2 + 2x x^2 + 9x + 18<=> x^2 - 7x - 18 0. Решаем квадратное неравенство: x^2 - 7x - 18 = 0=> D = 49 + 72 = 121, x_1 = (7 - 11)/(2) = -2, x_2 = (7 + 11)/(2) = 9. Значит, x^2 - 7x - 18 0<=> xin [-2; 9]. Учитывая ОДЗ xin (-3; -1) U (0; +inf), находим пересечение: [-2; 9] n( (-3; -1) U (0; +inf) ) = [-2; -1) U (0; 9]. Ответ: xin [-2; -1) U (0; 9].

\([-2; -1) \cup (0; 9]\)