Задача №15251

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму $1000000$ рублей на $(n+1)$ месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по $n$-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа $n$-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

— к 15-му числу $(n+1)$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r\text{,}$ если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Первоначальный долг $A=1000$ тыс. рублей. Ежемесячное уменьшение долга на 40 тыс. рублей.

В $n$-й месяц долг 15-го числа равен 200 тыс.:

$$A-40n=200\Rightarrow 1000-40n=200\Rightarrow 40n=800\Rightarrow n=20.$$

Срок кредита: $n+1=21$ месяц.

Общая сумма выплат = сумма погашенного долга + проценты. Погашенный долг: 1000 тыс.

Проценты начисляются на остаток долга на начало каждого месяца. Остатки: месяцы 1..21: $1000,960,\dots ,200$ (арифметическая прогрессия из 21 члена).

Сумма остатков:

$$\frac{1000+200}{2}\cdot 21=600\cdot 21=12600\text{ (тыс. рублей)}.$$

Проценты:

$$\frac{r}{100}\cdot 12600.$$

Уравнение:

$$1000+\frac{r}{100}\cdot 12600=1378.$$ $$\frac{r}{100}\cdot 12600=378\Rightarrow 126r=378\Rightarrow r=3.$$

Ответ: $r=3\text{.}$