Точки P , Q , W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP : PB = CQ : QB = CW : WD = 1 : 4 , радиус окружности, описанной около треугольника PQW , равен 10, PQ = 16 , QW = 12 , угол PWQ — острый. а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD .

а) В треугольнике PQW по расширенной теореме синусов (QW)/(sin QPW)=2R, (PQ)/(sin PWQ)=2R. Так как R=10, QW=12, PQ=16, получаем sin QPW=(12)/(20)=(3)/(5), sin PWQ=(16)/(20)=(4)/(5). По условию угол PWQ острый. Поскольку QW<PQ, то противолежащий угол QPW меньше PWQ, значит, QPW тоже острый. Тогда cos QPW=sqrt(1-sin^2 QPW)=sqrt(1-(9)/(25))=(4)/(5). Следовательно, sin PWQ=(4)/(5)=cos QPW=sin(90^- QPW). Так как PWQ острый, то PWQ=90^- QPW, откуда QPW+ PWQ=90^=> PQW=180^-90^=90^. Треугольник PQW прямоугольный (прямой угол при Q). б) Из AP:PB=1:4 следует (BP)/(BA)=(4)/(5). Из CQ:QB=1:4 следует (BQ)/(BC)=(4)/(5). В треугольнике ABC точки Pin AB, Qin BC таковы, что (BP)/(BA)=(BQ)/(BC). Значит, PQ AC, и треугольники BPQ и BAC подобны с коэффициентом (4)/(5) (малый к большому). Тогда (PQ)/(AC)=(4)/(5)=> AC=(5)/(4)PQ=(5)/(4)* 16=20. В треугольнике CBD точки Qin CB, Win CD, причём (CQ)/(CB)=(1)/(5), (CW)/(CD)=(1)/(5). Следовательно, QW BD, и CQW CBD с коэффициентом (1)/(5). Поэтому (QW)/(BD)=(1)/(5)=> BD=5* QW=5* 12=60. Так как AC PQ, BD QW и PQ QW, то AC BD. Площадь выпуклого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения диагоналей: S_(ABCD)=(1)/(2)AC* BD=(1)/(2)* 20* 60=600. Ответ: а) Треугольник PQW прямоугольный (прямой угол при Q). б) S_(ABCD) = 600.

\(\text{а) }\angle PQW = 90^\circ\) \(\text{б) }600\)