Задача №15250

Точки $P\text{,}$ $Q\text{,}$ $W$ делят стороны выпуклого четырёхугольника $ABCD$ в отношении $AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4\text{,}$ радиус окружности, описанной около треугольника $PQW\text{,}$ равен 10, $PQ=16\text{,}$ $QW=12\text{,}$ угол $PWQ$ — острый.
а) Докажите, что треугольник $PQW$ — прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника $ABCD\text{.}$

а) В треугольнике $PQW$ по расширенной теореме синусов

$$\frac{QW}{\sin \angle QPW}=2R,\frac{PQ}{\sin \angle PWQ}=2R.$$

Так как $R=10\text{,}$ $QW=12\text{,}$ $PQ=16\text{,}$ получаем

$$\sin \angle QPW=\frac{12}{20}=\frac{3}{5},\sin \angle PWQ=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}.$$

По условию угол $\angle PWQ$ острый. Поскольку $QW<PQ\text{,}$ то противолежащий угол $\angle QPW$ меньше $\angle PWQ\text{,}$ значит, $\angle QPW$ тоже острый.

Тогда

$$\cos \angle QPW=\sqrt{1-{\sin }^2\angle QPW}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.$$

Следовательно,

$$\sin \angle PWQ=\frac{4}{5}=\cos \angle QPW=\sin (90^{\circ }-\angle QPW).$$

Так как $\angle PWQ$ острый, то $\angle PWQ=90^{\circ }-\angle QPW\text{,}$ откуда

$$\angle QPW+\angle PWQ=90^{\circ }\Rightarrow \angle PQW=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }.$$

Треугольник $PQW$ прямоугольный (прямой угол при $Q$).

б) Из $AP:PB=1:4$ следует $\frac{BP}{BA}=\frac{4}{5}\text{.}$ Из $CQ:QB=1:4$ следует $\frac{BQ}{BC}=\frac{4}{5}\text{.}$

В треугольнике $ABC$ точки $P\in AB\text{,}$ $Q\in BC$ таковы, что

$$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}.$$

Значит, $PQ\parallel AC\text{,}$ и треугольники $△BPQ$ и $△BAC$ подобны с коэффициентом $\frac{4}{5}$ (малый к большому). Тогда

$$\frac{PQ}{AC}=\frac{4}{5}\Rightarrow AC=\frac{5}{4}PQ=\frac{5}{4}\cdot 16=20.$$

В треугольнике $CBD$ точки $Q\in CB\text{,}$ $W\in CD\text{,}$ причём

$$\frac{CQ}{CB}=\frac{1}{5},\frac{CW}{CD}=\frac{1}{5}.$$

Следовательно, $QW\parallel BD\text{,}$ и $△CQW\sim △CBD$ с коэффициентом $\frac{1}{5}\text{.}$ Поэтому

$$\frac{QW}{BD}=\frac{1}{5}\Rightarrow BD=5\cdot QW=5\cdot 12=60.$$

Так как $AC\parallel PQ\text{,}$ $BD\parallel QW$ и $PQ\perp QW\text{,}$ то $AC\perp BD\text{.}$ Площадь выпуклого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения диагоналей:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 60=600.$$

Ответ:
а) Треугольник $PQW$ прямоугольный (прямой угол при $Q$).

б) $S_{ABCD}=600\text{.}$