Задача №15249

Решите неравенство

$$\frac{3^x+9}{3^x-9}+\frac{3^x-9}{3^x+9}⩾\frac{4\cdot 3^{x+1}+144}{9^x-81}.$$

Сделаем замену $3^x=t>0\text{,}$ $t\ne 9$ (так как знаменатели $3^x-9$ и $9^x-81=t^2-81$ не должны обращаться в ноль). Заметим, что $3^{x+1}=3t\text{.}$ Перепишем неравенство:

$$\frac{t+9}{t-9}+\frac{t-9}{t+9}⩾\frac{4\cdot 3t+144}{t^2-81}.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{(t+9{)}^2+(t-9{)}^2}{(t-9)(t+9)}⩾\frac{12t+144}{t^2-81}.$$

Упростим числитель: $(t+9{)}^2+(t-9{)}^2=t^2+18t+81+t^2-18t+81=2t^2+162\text{.}$ Знаменатель левой части: $t^2-81\text{.}$ Получаем:

$$\frac{2t^2+162}{t^2-81}⩾\frac{12t+144}{t^2-81}.$$

Умножим обе части на $t^2-81\text{,}$ учитывая знак. ОДЗ: $t>0\text{,}$ $t\ne 9\text{.}$ Рассмотрим два случая.

1) Если $t^2-81>0\text{,}$ т.е. $t>9$ (так как $t>0$), то знак сохраняется:

$$2t^2+162⩾12t+144\iff 2t^2-12t+18⩾0\iff 2(t^2-6t+9)⩾0\iff 2(t-3{)}^2⩾0.$$

Это верно при всех $t\text{.}$ Учитывая $t>9\text{,}$ получаем $t>9\text{.}$

2) Если $t^2-81<0\text{,}$ т.е. $0<t<9\text{,}$ то при умножении знак меняется:

$$2t^2+162⩽12t+144\iff 2t^2-12t+18⩽0\iff 2(t^2-6t+9)⩽0\iff 2(t-3{)}^2⩽0.$$

Это возможно только при $t=3\text{.}$ Проверим, входит ли $3$ в интервал $(0;9)$ — да. Значит, $t=3$ — решение.

Возвращаемся к $x\text{:}$

• $t>9\text{:}$ $3^x>9\Rightarrow x>2\text{.}$
• $t=3\text{:}$ $3^x=3\Rightarrow x=1\text{.}$

Проверим ОДЗ: при $x=1$ знаменатели $3^x-9=-6$ и $3^x+9=12$ не равны нулю, $9^x-81=9-81=-72\ne 0\text{.}$ Подходит.

Объединяем решения.

Ответ: $x=1\text{;}$ $x>2\text{.}$