Решите неравенство (3^x+9)/(3^x-9)+(3^x-9)/(3^x+9)(4*3^(x+1)+144)/(9^x-81).

Сделаем замену 3^x = t > 0, t!= 9 (так как знаменатели 3^x - 9 и 9^x - 81 = t^2 - 81 не должны обращаться в ноль). Заметим, что 3^(x+1) = 3t. Перепишем неравенство: (t+9)/(t-9) + (t-9)/(t+9)(4* 3t + 144)/(t^2 - 81). Приведём левую часть к общему знаменателю: ((t+9)^2 + (t-9)^2)/((t-9)(t+9))(12t + 144)/(t^2 - 81). Упростим числитель: (t+9)^2 + (t-9)^2 = t^2+18t+81 + t^2-18t+81 = 2t^2 + 162. Знаменатель левой части: t^2 - 81. Получаем: (2t^2 + 162)/(t^2 - 81)(12t + 144)/(t^2 - 81). Умножим обе части на t^2 - 81, учитывая знак. ОДЗ: t > 0, t!= 9. Рассмотрим два случая. 1) Если t^2 - 81 > 0, т.е. t > 9 (так как t>0), то знак сохраняется: 2t^2 + 162 12t + 144 <=> 2t^2 - 12t + 18 0 <=> 2(t^2 - 6t + 9) 0 <=> 2(t-3)^2 0. Это верно при всех t. Учитывая t > 9, получаем t > 9. 2) Если t^2 - 81 < 0, т.е. 0 < t < 9, то при умножении знак меняется: 2t^2 + 162 12t + 144 <=> 2t^2 - 12t + 18 0 <=> 2(t^2 - 6t + 9) 0 <=> 2(t-3)^2 0. Это возможно только при t = 3. Проверим, входит ли 3 в интервал (0; 9) — да. Значит, t = 3 — решение. Возвращаемся к x: - t > 9: 3^x > 9=> x > 2. - t = 3: 3^x = 3=> x = 1. Проверим ОДЗ: при x=1 знаменатели 3^x-9 = -6 и 3^x+9=12 не равны нулю, 9^x-81 = 9-81=-72!= 0. Подходит. Объединяем решения. Ответ: x = 1; x > 2.

\(\{1\}\cup (2; +\infty)\)