Задача №15248

В четырёхугольнике $KLMN$ вписана окружность с центром $O\text{.}$ Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A\text{.}$ Известно, что $\angle MNK=90^{\circ }\text{,}$ $\angle LMN=\angle KLM=60^{\circ }\text{.}$

а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO\text{.}$

б) Найдите длину стороны $MN\text{,}$ если $LA=3\text{.}$

а) Точка $O$ — центр вписанной окружности, поэтому она лежит на биссектрисе угла $\angle KLM\text{.}$ Продлим отрезок $LO$ до пересечения с прямой $MN$ и обозначим точку пересечения через $B\text{.}$ Тогда $\angle KLB=30^{\circ }$ (половина угла $\angle KLM=60^{\circ }$). Угол $\angle NKL$ четырёхугольника равен $360^{\circ }-90^{\circ }-60^{\circ }-60^{\circ }=150^{\circ }\text{.}$ Сумма односторонних углов $\angle NKL$ и $\angle KLB$ равна $180^{\circ }\text{,}$ поэтому прямые $KN$ и $LB$ параллельны. Поскольку $\angle MNK=90^{\circ }\text{,}$ прямая $KN$ перпендикулярна $MN\text{.}$ Значит, и прямая $LB$ перпендикулярна $MN\text{.}$ С другой стороны, радиус $OA\text{,}$ проведённый в точку касания, также перпендикулярен $MN\text{.}$ Через точку $O$ можно провести только одну прямую, перпендикулярную $MN\text{,}$ поэтому точки $A$ и $B$ совпадают. Следовательно, точка $A$ лежит на прямой $LO\text{.}$

б) Из доказанного следует, что $LA\perp MN\text{,}$ поэтому треугольник $LAM$ прямоугольный с прямым углом при вершине $A\text{.}$ В нём $\angle LMA=60^{\circ }$ и $LA=3\text{.}$ Находим:

$$\tan 60^{\circ }=\frac{LA}{AM}\Rightarrow AM=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.$$

Пусть $OA=r$ — радиус вписанной окружности. Точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle LMN\text{,}$ поэтому $\angle OMA=30^{\circ }\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $OMA\text{:}$

$$\tan 30^{\circ }=\frac{OA}{AM}\Rightarrow r=\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=1.$$

Точка $O$ также лежит на биссектрисе угла $\angle MNK$ ($\angle MNK=90^{\circ }$), поэтому $\angle ONA=45^{\circ }\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $ONA\text{:}$

$$\tan 45^{\circ }=\frac{OA}{AN}\Rightarrow AN=\frac{1}{1}=1.$$

Таким образом,

$$MN=AM+AN=\sqrt{3}+1.$$

Ответ: $\sqrt{3}+1$