В остроугольном треугольнике ABC угол BAC в два раза больше угла ABC. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Окружность, описанная около треугольника AOC, пересекает отрезок BC в точках C и P.
а) Докажите, что треугольники PAC и ABC подобны.
б) Найдите длину стороны AB, если AC=2, BC=10.
а) Обозначим ∠ABC=α. Тогда ∠BAC=2α по условию. Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC, поэтому центральный угол ∠AOC равен удвоенному вписанному углу ∠ABC, то есть ∠AOC=2α. Точки A, O, C и P лежат на одной окружности (окружность, описанная около △AOC, проходит также через P). В этой окружности вписанные углы ∠APC и ∠AOC опираются на одну дугу AC, следовательно, ∠APC=∠AOC=2α. Таким образом, в треугольниках ABC и PAC имеем: ∠BAC=∠APC=2α и угол C — общий. Значит, △ABC∼△PAC по двум углам (вершины соответствуют: A↔P, B↔A, C↔C).
б) Из подобия △ABC∼△PAC получаем соотношения сторон:
ABPA=BCAC=ACPC.Известно: AC=2, BC=10. Тогда
BCAC=102.Следовательно,
ACPC=102⇒PC=2⋅102=104.Также
ABPA=102⇒PA=102AB.Из подобия также следует равенство углов: ∠PAC=∠ABC=α. Поскольку ∠BAC=2α, луч AP делит угол BAC пополам, то есть AP — биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрисы:
ACAB=PCBP.Найдём BP:
BP=BC−PC=10−104=1010−4=106.Подставляем:
2AB=104106=46=23.Отсюда
AB=2⋅23=3.Ответ: AB=3.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ