В остроугольном треугольнике ABC угол BAC в два раза больше угла ABC. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Окружность, описанная около треугольника AOC, пересекает отрезок BC в точках C и P. а) Докажите, что треугольники PAC и ABC подобны. б) Найдите длину стороны AB, если AC = 2, BC = sqrt(10).

а) Обозначим ABC = alpha. Тогда BAC = 2alpha по условию. Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC, поэтому центральный угол AOC равен удвоенному вписанному углу ABC, то есть AOC = 2alpha. Точки A, O, C и P лежат на одной окружности (окружность, описанная около AOC, проходит также через P). В этой окружности вписанные углы APC и AOC опираются на одну дугу AC, следовательно, APC = AOC = 2alpha. Таким образом, в треугольниках ABC и PAC имеем: BAC = APC = 2alpha и угол C — общий. Значит, ABC PAC по двум углам (вершины соответствуют: A P, B A, C C). б) Из подобия ABC PAC получаем соотношения сторон: (PA)/(AB) = (AC)/(BC) = (PC)/(AC). Известно: AC = 2, BC = sqrt(10). Тогда (AC)/(BC) = (2)/(sqrt(10)). Следовательно, (PC)/(AC) = (2)/(sqrt(10))=> PC = 2*(2)/(sqrt(10)) = (4)/(sqrt(10)). Также (PA)/(AB) = (2)/(sqrt(10))=> PA = (2)/(sqrt(10)) AB. Из подобия также следует равенство углов: PAC = ABC = alpha. Поскольку BAC = 2alpha, луч AP делит угол BAC пополам, то есть AP — биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрисы: (AB)/(AC) = (BP)/(PC). Найдём BP: BP = BC - PC = sqrt(10) - (4)/(sqrt(10)) = (10 - 4)/(sqrt(10)) = (6)/(sqrt(10)). Подставляем: (AB)/(2) = (6sqrt(10))/(4sqrt(10)) = (6)/(4) = (3)/(2). Отсюда AB = 2*(3)/(2) = 3. Ответ: AB = 3.

\(3\)