Задача №15245

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A\text{,}$ $B$ и $C\text{,}$ а на окружности другого основания — точка $C_1\text{,}$ причём $C{C}_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB=30^{\circ }\text{,}$ $AB=1\text{,}$ $C{C}_1=2\sqrt{2}\text{.}$

а) Докажите, что угол между прямыми $A{C}_1$ и $BC$ равен $60^{\circ }\text{.}$

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

а) Поскольку $AC$ — диаметр основания, треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $B\text{.}$ В нём $\angle ACB=30^{\circ }$ и $AB=1\text{.}$ Отсюда

$$AC=\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}=\frac{1}{1/2}=2,$$

значит, радиус основания цилиндра $r=\frac{AC}{2}=1\text{.}$

Проведём образующую $B{B}_1\text{.}$ Четырёхугольник $B{B}_1{C}_{1}C$ — прямоугольник, поэтому $B_1{C}_1\parallel BC\text{.}$ Угол между скрещивающимися прямыми $A{C}_1$ и $BC$ равен углу между пересекающимися прямыми $A{C}_1$ и $B_1{C}_1\text{,}$ то есть углу $A{C}_1{B}_1$ в треугольнике $A{C}_1{B}_1\text{.}$

Найдём стороны треугольника $A{C}_1{B}_1\text{:}$

• $B_1{C}_1=BC\text{.}$ Из прямоугольного треугольника $ABC\text{:}$

$$BC=AB\cdot \cot 30^{\circ }=1\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}.$$

• $A{B}_1\text{:}$ отрезок $A{B}_1$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $AB=1$ и $B{B}_1=C{C}_1=2\sqrt{2}\text{.}$ Следовательно,

$$A{B}_1=\sqrt{1^2+(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{1+8}=3.$$

• $A{C}_1\text{:}$ отрезок $A{C}_1$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $AC=2$ и $C{C}_1=2\sqrt{2}\text{.}$ Тогда

$$A{C}_1=\sqrt{2^2+(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{4+8}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.$$

Применим теорему косинусов в треугольнике $A{C}_1{B}_1$ для угла $\phi =\angle A{C}_1{B}_1\text{:}$

$$A{B}_1^2=A{C}_1^2+B_1{C}_1^2-2\cdot A{C}_1\cdot B_1{C}_1\cdot \cos \phi .$$

Подставляем значения:

$$3^2=(2\sqrt{3}{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2-2\cdot 2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \cos \phi ,$$ $$9=12+3-2\cdot 2\cdot 3\cdot \cos \phi =15-12\cos \phi .$$

Отсюда $12\cos \phi =15-9=6\text{,}$ $\cos \phi =\frac{1}{2}\text{,}$ значит, $\phi =60^{\circ }\text{.}$ Угол между прямыми $A{C}_1$ и $BC$ равен $60^{\circ }\text{,}$ что и требовалось доказать.

б) Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по формуле $S_{\text{бок}}=2\pi rh\text{,}$ где $r$ — радиус основания, $h$ — высота.
Радиус $r=1$ (из пункта а), высота $h=C{C}_1=2\sqrt{2}\text{.}$ Тогда

$$S_{\text{бок}}=2\pi \cdot 1\cdot 2\sqrt{2}=4\pi \sqrt{2}.$$

Ответ:

а) Угол между прямыми $A{C}_1$ и $BC$ равен $60^{\circ }\text{.}$

б) $4\pi \sqrt{2}$