В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C_1, причём CC_1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ACB = 30^, AB = 1, CC_1 = 2sqrt(2). а) Докажите, что угол между прямыми AC_1 и BC равен 60^. б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

а) Поскольку AC — диаметр основания, треугольник ABC прямоугольный с прямым углом B. В нём ACB = 30^ и AB = 1. Отсюда AC = (AB)/(sin 30^) = (1)/(1/2) = 2, значит, радиус основания цилиндра r = (AC)/(2) = 1. Проведём образующую BB_1. Четырёхугольник BB_1C_1C — прямоугольник, поэтому B_1C_1 BC. Угол между скрещивающимися прямыми AC_1 и BC равен углу между пересекающимися прямыми AC_1 и B_1C_1, то есть углу AC_1B_1 в треугольнике AC_1B_1. Найдём стороны треугольника AC_1B_1: - B_1C_1 = BC. Из прямоугольного треугольника ABC: BC = AB*cot 30^ = 1*sqrt(3) = sqrt(3). - AB_1: отрезок AB_1 — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами AB = 1 и BB_1 = CC_1 = 2sqrt(2). Следовательно, AB_1 = sqrt(1^2 + (22)^2) = sqrt(1 + 8) = 3. - AC_1: отрезок AC_1 — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами AC = 2 и CC_1 = 2sqrt(2). Тогда AC_1 = sqrt(2^2 + (22)^2) = sqrt(4 + 8) = sqrt(12) = 2sqrt(3). Применим теорему косинусов в треугольнике AC_1B_1 для угла = AC_1B_1: AB_1^2 = AC_1^2 + B_1C_1^2 - 2* AC_1* B_1C_1*cos. Подставляем значения: 3^2 = (2sqrt(3))^2 + (sqrt(3))^2 - 2* 2sqrt(3)*sqrt(3)*cos, 9 = 12 + 3 - 2* 2* 3*cos = 15 - 12cos. Отсюда 12cos = 15 - 9 = 6, cos = (1)/(2), значит, = 60^. Угол между прямыми AC_1 и BC равен 60^, что и требовалось доказать. б) Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по формуле S_(бок) = 2pi r h, где r — радиус основания, h — высота. Радиус r = 1 (из пункта а), высота h = CC_1 = 2sqrt(2). Тогда S_(бок) = 2pi* 1* 2sqrt(2) = 4(2). Ответ: а) Угол между прямыми AC_1 и BC равен 60^. б) 4(2)

а) доказано б) \( 4\pi\sqrt{2} \)