Решите неравенство 1 + (10)/(_2 x - 5) + (16)/(_2^2 x - _2 (32x^(10)) + 30)>= 0.

ОДЗ: x > 0, x!= 1, _2 x - 5!= 0 (т.е. x!= 32), и знаменатель второй дроби не равен нулю. Упростим выражение _2^2 x - _2 (32x^(10)) + 30. _2 (32x^(10)) = _2 32 + _2 x^(10) = 5 + 10_2 x. Тогда знаменатель: _2^2 x - (5 + 10_2 x) + 30 = _2^2 x - 10_2 x + 25 = (_2 x - 5)^2. Таким образом, вторая дробь имеет вид (16)/((_2 x - 5)^2). Исходное неравенство: 1 + (10)/(_2 x - 5) + (16)/((_2 x - 5)^2)>= 0. Сделаем замену t = _2 x - 5, тогда t!= 0. Получаем: 1 + (10)/(t) + (16)/(t^2)>= 0 <=> (t^2 + 10t + 16)/(t^2)>= 0. Числитель: t^2 + 10t + 16 = (t + 2)(t + 8). Неравенство ((t+2)(t+8))/(t^2)>= 0 выполняется, когда числитель и знаменатель одного знака. Так как t^2 > 0 при t!= 0, знак дроби совпадает со знаком числителя. Требуется (t+2)(t+8) >= 0, причём t!= 0. Решаем: t<= -8 или t>= -2, t!= 0. Возвращаемся к x: 1. t<= -8=>_2 x - 5<= -8=>_2 x<= -3=> 0 < x<= 2^(-3) = (1)/(8). 2. t>= -2, t!= 0=>_2 x - 5>= -2 и _2 x - 5!= 0. _2 x>= 3=> x>= 8, и дополнительно _2 x!= 5=> x!= 32. Также случай t = 0 исключён, поэтому x!= 32 уже учтено. Учитывая ОДЗ x > 0, x!= 1, получаем: xin(0; (1)/(8)] U [8; 32) U (32; +inf). Проверим x = 1: при x = 1 выражение _2 x не определено? Нет, _2 1 = 0, тогда t = 0 - 5 = -5, подходит? Проверим исходное неравенство: t = -5, тогда дробь 1 + (10)/(-5) + (16)/(25) = 1 - 2 + 0.64 = -0.36 < 0, не подходит. Но x = 1 не входит в полученные промежутки, так как 1 > 1/8 и 1 < 8, поэтому отдельно не рассматриваем. Ответ: 0 < x<=(1)/(8) или x>= 8, x!= 32.

\(\left(0; \dfrac{1}{8}\right] \cup [8;32) \cup (32; +\infty)\)