Задача №15243

Решите неравенство

$$1+\frac{10}{{\log }_{2}x-5}+\frac{16}{{\log }_2^{2}x-{\log }_2(32x^{10})+30}\ge 0.$$

ОДЗ: $x>0\text{,}$ $x\ne 1\text{,}$ ${\log }_{2}x-5\ne 0$ (т.е. $x\ne 32$), и знаменатель второй дроби не равен нулю.
Упростим выражение ${\log }_2^{2}x-{\log }_2(32x^{10})+30\text{.}$
${\log }_2(32x^{10})={\log }_{2}32+{\log }_2{x}^{10}=5+10{\log }_{2}x\text{.}$
Тогда знаменатель: ${\log }_2^{2}x-(5+10{\log }_{2}x)+30={\log }_2^{2}x-10{\log }_{2}x+25=({\log }_{2}x-5{)}^2\text{.}$
Таким образом, вторая дробь имеет вид $\frac{16}{({\log }_{2}x-5{)}^2}\text{.}$
Исходное неравенство:

$$1+\frac{10}{{\log }_{2}x-5}+\frac{16}{({\log }_{2}x-5{)}^2}\ge 0.$$

Сделаем замену $t={\log }_{2}x-5\text{,}$ тогда $t\ne 0\text{.}$ Получаем:

$$1+\frac{10}{t}+\frac{16}{t^2}\ge 0\iff \frac{t^2+10t+16}{t^2}\ge 0.$$

Числитель: $t^2+10t+16=(t+2)(t+8)\text{.}$
Неравенство $\frac{(t+2)(t+8)}{t^2}\ge 0$ выполняется, когда числитель и знаменатель одного знака. Так как $t^2>0$ при $t\ne 0\text{,}$ знак дроби совпадает со знаком числителя.
Требуется $(t+2)(t+8)\ge 0\text{,}$ причём $t\ne 0\text{.}$
Решаем: $t\le -8$ или $t\ge -2\text{,}$ $t\ne 0\text{.}$

Возвращаемся к $x\text{:}$
1. $t\le -8\Rightarrow {\log }_{2}x-5\le -8\Rightarrow {\log }_{2}x\le -3\Rightarrow 0<x\le 2^{-3}=\frac{1}{8}\text{.}$
2. $t\ge -2\text{,}$ $t\ne 0\Rightarrow {\log }_{2}x-5\ge -2$ и ${\log }_{2}x-5\ne 0\text{.}$
${\log }_{2}x\ge 3\Rightarrow x\ge 8\text{,}$ и дополнительно ${\log }_{2}x\ne 5\Rightarrow x\ne 32\text{.}$
Также случай $t=0$ исключён, поэтому $x\ne 32$ уже учтено.

Учитывая ОДЗ $x>0\text{,}$ $x\ne 1\text{,}$ получаем:
$x\in \left(0;\frac{1}{8}\right]\cup [8;32)\cup (32;+\infty )\text{.}$
Проверим $x=1\text{:}$ при $x=1$ выражение ${\log }_{2}x$ не определено? Нет, ${\log }_{2}1=0\text{,}$ тогда $t=0-5=-5\text{,}$ подходит? Проверим исходное неравенство: $t=-5\text{,}$ тогда дробь $1+\frac{10}{-5}+\frac{16}{25}=1-2+0.64=-0.36<0\text{,}$ не подходит. Но $x=1$ не входит в полученные промежутки, так как $1>1/8$ и $1<8\text{,}$ поэтому отдельно не рассматриваем.

Ответ: $0<x\le \frac{1}{8}$ или $x\ge 8\text{,}$ $x\ne 32\text{.}$