Задача №15242

Решите неравенство

$${\log }_4\left((x-5)(x^2-2x-15)\right)+1⩾\frac{1}{2}{\log }_2(x-5{)}^2.$$

Найдём ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}(x-5)(x^2-2x-15)>0,\\ x-5\ne 0(\text{так как логарифм по основанию 2 от квадрата определён при }x\ne 5).\end{array}$$

Разложим: $x^2-2x-15=(x-5)(x+3)\text{.}$ Тогда $(x-5)(x-5)(x+3)=(x-5{)}^2(x+3)>0\text{.}$ Квадрат всегда неотрицателен, поэтому неравенство выполняется при $x+3>0$ и $x\ne 5\text{.}$ Итак, ОДЗ: $x>-3\text{,}$ $x\ne 5\text{.}$

Преобразуем неравенство. Заметим, что $\frac{1}{2}{\log }_2(x-5{)}^2={\log }_2|x-5|\text{.}$ На ОДЗ $x>-3\text{,}$ но $x\ne 5\text{,}$ поэтому при $x>5\text{:}$ $|x-5|=x-5\text{,}$ при $-3<x<5\text{:}$ $|x-5|=5-x\text{.}$ Будем решать на двух промежутках.

Также преобразуем левую часть:

$${\log }_4\left((x-5)(x^2-2x-15)\right)+1={\log }_4\left((x-5{)}^2(x+3)\right)+1={\log }_4(x-5{)}^2+{\log }_4(x+3)+1.$$

Заметим, что ${\log }_4(x-5{)}^2=\frac{{\log }_2(x-5{)}^2}{{\log }_{2}4}=\frac{1}{2}{\log }_2(x-5{)}^2\text{.}$ Тогда исходное неравенство принимает вид:

$$\frac{1}{2}{\log }_2(x-5{)}^2+{\log }_4(x+3)+1\ge \frac{1}{2}{\log }_2(x-5{)}^2.$$

Сокращаем $\frac{1}{2}{\log }_2(x-5{)}^2$ (при условии, что это выражение определено, что верно на ОДЗ):

$${\log }_4(x+3)+1\ge 0\iff {\log }_4(x+3)\ge -1.$$

Решаем: $x+3\ge 4^{-1}=\frac{1}{4}\text{,}$ откуда $x\ge \frac{1}{4}-3=-\frac{11}{4}\text{.}$

Учитываем ОДЗ: $x>-3\text{,}$ $x\ne 5\text{,}$ и полученное условие $x\ge -\frac{11}{4}\text{.}$ Получаем: $x\ge -\frac{11}{4}\text{,}$ $x\ne 5\text{.}$

Но также нужно проверить, не терялись ли решения при сокращении логарифмов. Сокращали мы одинаковые выражения, но они могут быть неопределены, если ${\log }_2(x-5{)}^2$ не определён, но на ОДЗ это не так. Также если мы вычитали неравенство, то нужно было бы учитывать знак, но мы просто перенесли слагаемое, что корректно.

Ответ: $[-\frac{11}{4};5)\cup (5;+\infty )\text{.}$