Решите неравенство _4((x-5)(x^2 - 2x - 15)) + 1(1)/(2)_2 (x-5)^2.

Найдём ОДЗ: cases (x-5)(x^2 - 2x - 15) > 0, x-5!= 0 (так как логарифм по основанию 2 от квадрата определён при x!= 5). cases Разложим: x^2 - 2x - 15 = (x-5)(x+3). Тогда (x-5)(x-5)(x+3) = (x-5)^2 (x+3) > 0. Квадрат всегда неотрицателен, поэтому неравенство выполняется при x+3 > 0 и x!= 5. Итак, ОДЗ: x > -3, x!= 5. Преобразуем неравенство. Заметим, что (1)/(2)_2 (x-5)^2 = _2 |x-5|. На ОДЗ x > -3, но x!= 5, поэтому при x > 5: |x-5| = x-5, при -3 < x < 5: |x-5| = 5-x. Будем решать на двух промежутках. Также преобразуем левую часть: _4((x-5)(x^2 - 2x - 15)) + 1 = _4((x-5)^2 (x+3)) + 1 = _4 (x-5)^2 + _4 (x+3) + 1. Заметим, что _4 (x-5)^2 = (_2 (x-5)^2)/(_2 4) = (1)/(2)_2 (x-5)^2. Тогда исходное неравенство принимает вид: (1)/(2)_2 (x-5)^2 + _4 (x+3) + 1>=(1)/(2)_2 (x-5)^2. Сокращаем (1)/(2)_2 (x-5)^2 (при условии, что это выражение определено, что верно на ОДЗ): _4 (x+3) + 1>= 0 <=> _4 (x+3) >= -1. Решаем: x+3>= 4^(-1) = (1)/(4), откуда x>=(1)/(4) - 3 = -(11)/(4). Учитываем ОДЗ: x > -3, x!= 5, и полученное условие x>= -(11)/(4). Получаем: x>= -(11)/(4), x!= 5. Но также нужно проверить, не терялись ли решения при сокращении логарифмов. Сокращали мы одинаковые выражения, но они могут быть неопределены, если _2 (x-5)^2 не определён, но на ОДЗ это не так. Также если мы вычитали неравенство, то нужно было бы учитывать знак, но мы просто перенесли слагаемое, что корректно. Ответ: [-(11)/(4); 5) U (5; +inf).

\(\left[-\dfrac{11}{4}; 5\right) \cup\left(5; +\infty\right)\)